高数上笔记

一、极限

（一）极限的定义

1.极限的定义：f(x)是x的函数，若在x的某个变化过程中，f(x)趋向于a(a为某个确定的数)，则a就是在x的这一变化过程中f(x)的极限。

（二）极限存在的充要条件

1.极限存在的充要条件为左右极限存在并且相等。

（三）极限的求解

1.无穷小与无穷大

（1）概念定义

①无穷大

注：无穷大是变量，不是“很大的数”，是极限不存在的一种情况，即无穷大没有极限。

理解：高数中的“无穷大”其实就是包括我们平常认为的“无穷大”和“无穷小”两个方面，缺一不可。尤其是“无穷小”，对于初学者极易被遗忘与混乱。这里的“无穷小”与下面的“无穷小“不是同一个意思。

②无穷小：x的极限是0，即x为无穷小。

注意：0的极限还是0.即0是无穷小，无穷小是一种趋向于0的状态。

（2）等价无穷小替换

当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～ln(1+x)～（e^x）➖1

（1-cosx）～（1/2）x^2

(1+x)^a➖1～ax （a≠0）

注：x可以替换为任意趋近于0的变量，如2x（x→0）。

（3）低阶、等价、高阶无穷小的比较

设α、β是两个无穷小

limβ/α＝0，即β是更高阶无穷小，β＝o（α）

limβ/α＝∞，即β是更低阶无穷小

limβ/α＝k（其中k为常数），即β是α的同阶无穷小

limβ/α＝1，即α、β都是等价无穷小。

注意：等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况。

易错：“阶”与“价”要睁大眼睛看看啊！

2.关于e的公式

lim(1+x)^(1/x)＝e lim(1+ax)^(1/ax)＝e

x→0 x→0

变式1:

lim(1+1/x)^x＝e lim(1+a/x)^(x/a)＝e

x→∞ x→∞

变式2：

lim(1+ax)^(1/x)＝lim[(1+ax)^1/ax]^a＝e^a

x→0 x→0

lim(1+a/x)^x＝lim[(1+a/x)^x/a]^a＝e^a

x→∞ x→∞

（四）极限求解的类型总结

1.代入计算型

2.多项式比型

3.洛必达法则：当所求极限为0/0和∞/∞型时，可以采用分子分母同时求导的方法求解。 ①0/0型；②∞/∞型；③0*∞型转化为∞/∞型；④∞➖∞转化为0/0型。

注意：可以使用等价无穷小时，优先使用等价无穷小。

4.复合函数极限 y＝[f（x）] ^g(x)

①0^0型转化为∞/∞；②1^∞型转化为0/0型；③∞^0型转化为∞/∞型。

二、连续

（一）连续存在的充要条件

判断函数f(x)在x0点处连续，当且仅当f(x)满足以下三个充要条件：

①f(x)在x0及其左右近旁有定义。

②f(x)在x0的极限存在。

③f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。

（二）连续的定义

函数在x处连续的定义是：任意的ε＞0，存在δ＞0，当丨x➖x0丨＜δ，有丨f(x)➖f(x0)丨＜ε即limf(x)＝f(x0)。

x→x0

（三）左右极限的计算

极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。

利用极限判断连续。

（四）间断点的判断

1.第一类间断点

（1）可去间断点：左右极限存在且相等。

（2）跳跃间断点：左右极限存在，但不相等。

2.第二类间断点

（1）无穷间断点：在某点处左右极限至少一个不存在。

（2）震荡间断点：左右极限都不存在且函数图像剧烈震荡。如：sin(1/x)

（五）已知连续求参数

三、导数

（一）导数的定义

1.导数的定义

y'＝f'(x)＝dy/dx

2.导数定义公式

（二）可导的充要条件为f'-(x0)＝f'+（x0）

1.可导必定连续，连续未必可导

2.可导是连续的充分不必要条件

3,连续是可导的必要不充分条件。

（三）求导的基本公式

（四）导数计算的所有类型

1.初等函数求导(直接利用求导公式)

2.隐函数求导（左右两边同时对x求导）

例1：求由x➖y➕siny＝0所确定的隐函数的导数（dy/dx）

解：两边对x求导：1➖dy/dx➕cosy（dy/dx）＝0

化简移项得：dy/dx＝1/（1➖cosy）

例2：求由xy➖e^x➕e^y＝0所确定的隐函数的导数（dy/dx）

解：两边对x求导：y➕x（dy/dx）➖e^x➕e^y(dydx)＝0

化简移项得：dy/dx＝（e^x➖y）/（x➕e^y）

3.两类对数求导法则

例1：已知函数y＝x^sinx(x＞0)求dy/dx。

解：两边同时取对数：lny＝sinxlnx

两边同时对x求导数：（1/y）(dy/dx)＝cosxlnx➕sinx/x

化简移项得：dy/dx＝y(cosxlnx➕sinx/x)

代入y＝x^sinx：dy/dx＝(cosxlnx➕sinx/x)x^sinx

例2：已知y＝x^x^2,求dy/dx。

解：dy/dx＝[e^(x^2·lnx）]'＝[e^(x^2·lnx）]（2xlnx➕x）＝x^x^2（2xlnx➕x）

4.由参数方程确定的函数的导数

5.函数可导求参数

无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

6.函数可导求极限

总结：看到“可导”（即左右导数相等）联想到“连续”（即函数值等于极限值）。

（五）极值与最值

1.单调性

（1）概念：即函数的增减性，分为单调递增和单调递减

（2）驻点：若函数可导且f'(xo)＝0，即为f(x)的驻点，f(xo)即为函数的极值。

注意：驻点与单调性没有必然惯性，导数不存在和没有驻点的情况下函数也可能存在单调性。

（3）单调性的判断

在x∈（a,b）区间内，若f'(x)＞0，即f(x)在区间[a,b]上是单调递增的；

若f'(x)＜0，即f(x)在区间[a,b]上是单调递减的。

（在判断一个函数的单调性时，不能仅考虑某个区间，要考虑整个定义域上的单调性。）

注意：驻点和间断点都是单调性改变的可疑点。

2.凹凸性

（1）概念：描述图像弯曲方向的一个性质。凸，凹。

（2）拐点：若f''（xo）＝0且f''(x)在xo两边变号，xo即为f（x）的拐点。

（一个函数可以有多个拐点或没有拐点）

（3）凹凸性的判断方法

在x∈（a,b）区间内，若f''(x)＞0，即f（x）在区间[a,b]上的图形是凹的；

若f''(x)＜0，即f（x）在区间[a,b]上的图形是凸的。

四、中值定理

（一）罗尔中值定理

定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)＝f(b)，那么在（a,b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得函数f(x)在该点的导数等于0，即f'(ξ)＝0.

几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。

介值定理是闭区间连续函数的重要性质之一，在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

（二）拉格朗日中值定理

定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)➖f(a)＝f'(ξ)(b➖a)成立，结论亦可写c成 [f(b)➖f(a)]/(b➖a)＝f'(ξ)。

几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦A。

构造函数解决问题

五、不定积分

（一）积分公式

注意：求不定积分时一定要记住加上C。

（二）不定积分的计算

总结：对于凑微分法，在x前乘以的系数要在整体乘以其倒数，在x前加或减的常数，可以凑出符合题目所需要的，但无需还原，因为常数的导数都为0.

上面两题最后两步的C表示意义不同：C2＝aC1.

把上面结论背了直接秒杀。

六、定积分

(一)定积分以及基本性质

1.定义

说明：a为积分下限 b为积分上限 x为积分变量

f(x)为被积函数 f(x)dx为被积表达式

2.定积分的几何意义

3.定积分存在定理

定理1：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

定理2：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[[a,b]上可积。

4.定积分的性质

性质6中“a➖b”改为“b➖a”。

5.积分上限函数

6.牛顿——莱布尼茨公式

（二）定积分计算的所有类型

2.分部积分

（三）反常积分

3.无界函数的反常积分

七、微分方程

（一）微分方程的运算（同导数的运算）

1.基本公式：

2.基本微分运算：

3.复合函数的微分公式：

（二）求微分方程的所有类型

求微分方程中通解与特解的定义：

1.一阶微分方程

2.可降阶的二阶微分方程

以上笔记是结合“期末帮”高数上期末考试视频讲解和本人考试要求以及做题经验所做的笔记，详细视频大家可以去看看，个人认为特别棒，对于期末考试绰绰有余，唯一的缺点就是ppt上有些小错误，然后我在上面的笔记中都有标记。