计算机从业-起始篇 | 第2章.计算机科学导论之【数字系统】学习笔记
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本章目录：
计算机科学导论学习笔记
第 2 部分 数据的表示和运算
2.数字系统
2.1 位置化系统
2.2 进制系统转换
(1) R 进制系统的表示 （R 可为 二、八、十、十六）
(2) R 进制间相互转换
2.1 任意进制转换为十进制
2.2 十进制转换为其他进制
2.3 二进制转八进制、十六进制
2.4 数码的数量
2.3 非位置化数字系统
第 2 部分 数据的表示和运算
描述：该部分包括第2、3和4章，我们分别进行如下学习。
第2章讨论了数字系统，数量如何能使用符号来表示。
第3章讨论了不同的数据如何存储在计算机中。
第4章讨论了一些基本的算术运算与位(逻辑)运算。
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2.数字系统
什么是数字系统?
用独特的符号（数码）来表示 一个数字 ， 在不同的系统中，一个数字有不同的表示方法，使用有限的数字符号来表示数字，所以数码需要重复使用。
例如，（2A)16和(52)8都是指同样的数量（42)10，但是他们的表示截然不同。
常见的数字系统，阿拉伯数字系统 （0-9），罗马数字系统 (I I I I I I IV V VI VII .....).
数字系统分类： 主要分为两类分部是位置化系统（主要讲解）和非位置化系统（简单提及）
2.1 位置化系统
在位置化数字系统中，数字中符号所占据的位置决定了其表示的值。
其中，S是一套符号集，b是底（或基数）等于S符号集中的符号总数，其中S1和Sk是代表分数部分或整个数字的符号，+、- 表示数字为正或者负。
2.2 进制系统转换
描述： 计算机由于其组成由成千上万个晶体管组成，通过其开/关完成或记录各项操作，则计算机只能识别 0 和 1，所以计算机底层识别通常是二进制的数据。
所以在讨论学习位置化数字系统前，我们需要针对各进制系统的表示与转换做一个学习（此基础知识非常重要）
(1) R 进制系统的表示 （R 可为 二、八、十、十六）
描述：即在计算机数字系统常用进制系统是二进制 (Binary)、八进制(Octal)、十进制(Decimal)、十六进制(Hexadecimal)，其原则为逢R进一。
二进制（Binary）：源于拉丁词根bini（二），它只有 0 和 1 两个数表示，常用下标2或者B表示，例如：数值 3 的二进制表示为 (11)2 或者
11B，计算机中数据通常是以二进制模式(串)存储与计算机中执行.八进制（Octal）：源于拉丁词octo (八)，由 0 ~ 7 八个数表示，常用下标8或者O表示，例如：数值 8 的八进制表示为 (10)8 或者
10O.十进制（Decimal）：源于拉丁词 decem (十) ，由 0 ~ 9 十个数表示，常用下标10或D表示，例如：数值 10 的十进制表示为 (10)10 或者
10D，该进制适合人类阅读理解.十六进制（Hexadecimal）：源于希腊词根hex (六) 和 decem（十），由 0 ~ 9 A ~ E (分别等于 10~15) 十六个数表示，常用下标10或H表示，例如：数值 30 的十进制表示为 (1E)16 或者
1EH。
此处以人类方便理解的十进制系统（以10为底）为例，进行讲解在整数、位置量、最大值、实数相关概念
整数：即没有小数部分的整型数字。
位置量：即用底（或者基数）的幂运算进行表示。例如，10的幂（10^0 , 10^1 , ~ , 10^(k-1)）
最大值：即使用数字K来表示十进制整数的最大值位数。例如，当k为5位时，其Nmax = 105 - 1 = 99 999
实数：即小数点后的部分数字，在十进制中小数点(
.)是用于分割整数和小数部分的。
十进制系统（以10为底）示例演示：
为了方便比较，此处再以计算机常用的二进制系统（以2为底）进行整数与实数进行讲解，可以如下图所示中得到计算的相关表达式，相比较于十进制只是将基数进行改变了，所以说八进制与十六进制的计算便不展开说明了。
二进制系统（以2为底）示例演示：
温馨提示: 计算机存储正负数的方式是不同的。（后续会有介绍）
(2) R 进制间相互转换
最常用的方式就是按权展开或者是 8421码快速进行进制的转换。
例如，将 （123）10 以按权方式展开。
2.1 任意进制转换为十进制
其它进制转换为十进制是简单而迅速的，将数码乘以其在源系统中的位置量并求和便得到十进制中的数.
示例演示：
2.2 十进制转换为其他进制
将十进制转换到其他等值的其他进制，需要两个过程即整数部分和小数部分。
整数部分：在进行整数部分的转换可使用连除法。
例如，将 （58）10 转换为二进制的方法，此处采用除积倒取余（连除）法（也适于八进制、十六转换只是将连除的除数为基数），进行连除以2得到商和余数，当然日常使用8421码更为简单与二进制互换，此处主要讲解的是方式方法而已。
小数部分：在进行小数部分的转换可使用连乘法，此处需要非常注意某些考试常常考带小数的转换。
快速将十进制（通常小于256）为二进制数间的互相转换方法。
例如，将 （111010）2 转换为十进制的方法（位权 与 8421码），将展开的位权进行相加，其结果为 32 + 16 + 8 + 2 = (58)10，应用此方法可以快速进行 十进制与二进制间的互换
由上表可知，根据十进制对等的值排列这些分数，由于1/2 与 1/16缺失，我们使用了0代替，所以其二进制结果为 (0.011011)2
2.3 二进制转八进制、十六进制
我们能轻松将数字从二进制转换到八进制，反之亦然。这是因为在这两个底之间存在一种关系：二进制中的3位恰好是八进制中的1位。
例如，将（111010）2 转换为八进制方法： 从右往左起每逢三位二进制转1位八进制，当不足三位的在最左边添0补齐，反之八转二，每一位八进制转换为三位二进制位表示，其结果为（72)8。
我们能轻松将数字从二进制转换到十六进制，反之亦然。这是因为在这两个底之间存在一种关系：二进制中的4位恰好是十六进制中的1位。
例如，将（111010）2 转换为十六进制方法： 从右往左起每逢四位二进制转1位十六进制，当不足四位的在最左边添0补齐，反之十六转二，每一位十六进制转换为四位二进制位表示，其结果为（31)16。
温馨提示：如果需要将数字从八进制转换到十六进制，我们可以使用二进制系统作为临时中介系统。
2.4 数码的数量
在进行十进制转换为其他系统进制时我们可能需要知道数码的数量，我们可以通过 k=logbN 的关系（k 是以b为底N的对数，N = b^k）进行计算，其 中b为基数(底数)、N为该数值的整数的十进制。
例如，我可以找到十进制数 234 转换为 2、8、10、16进制中所占的对应位数。
十进制 k= log10234 = 2.37 = 3 位数
二进制 k= log2234 = 7.8 = 8 位数，即 234 = (1110 1010)2
八进制 k= log8234 = 2.62 = 3 位数 ，即 234 = (352)8
十六进制 k= log16234 = 1.96 = 2 位数，即 234 = (EA)16
在从一个底装换为另外一个转换中，我们需要知道源系统数码的最大数量（b1^k-1, 其中b1是源数码基数，使用k个数码），意味着目标系统拥有的最大数是( b2^x - 1 ，其中 b2是目标数码基数，使用x个数码来装载源系统的值)，因此其关系是 b2^x - 1 ≥ b1^k-1 (b2^x ≥ b1^k )，其表达式为 x ≥ k * (logb1 / logb2) 。
例如，找出二进制（目标数码）数码最小数，用于存储一个最大的6个数的十进制数（源目标数码）。
即k=6, b1=10, b2=2 , 即 x = 6 *（log10 / log2） = 6 * ( 1 / 0.30103 ) = 20，即我们需要20位二进制数（1 048 575）来存放6位10进制数码最大值（999 999）。
2.3 非位置化数字系统
非位置化数字系统仍然是使用有限的数字符号，每个符号对应一个值，其所在的位置通常与其值无关，因为每个符号值都是固定的。
为了求得该数字的值，可以把所有符号表示的值进行相加，但是需要遵循特定法则将符号值进行相加。
大值 ≥ 小值 ，其
大值在前，小值在后是直接相加即可， 例如 VII = 5 + 1 + 1大值＞小值 ，其
小值在前，大值在后时用大值减去小值，例如 IV = 5 - 1当 S1 ＞ 10 * S2，则符号S2不能在符号S1之前，例如 I 和 V 不能在C之前，因为 100 ≥ 10 * 1 以及 100 ≥ 10 * 5.
当在6种符号（除I以外的所有符号）中的任意一个上方加横杠表示乘以1000，如下图所示
在罗马数字在其系统中缺少码0，尽管罗马人适用单词nulla表示零的概念。
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