《几何原本》命题2.1【夸克欧氏几何】

命题2.1：

如果有两条线段，其中一条被截成任意几段，那么原来的两条线段构成的矩形等于未截的线段与截成的各个线段所构成的矩形之和

已知：线段A，BC，BC被点D,E分割

求证：S矩形A×BC=S矩形A×BD+S矩形A×DE+S矩形A×EC

解：

过点B作BF⊥BC

（命题1.11）

在BF上截取BG=A

（命题1.3）

过点G作GH∥BC

（命题1.31）

分别过点D,E,C作DK,EL,CH∥BG

（命题1.31）

证：

∵BG=A

（已知）

∴S矩形BG×BC=S矩形A×BC，S矩形BG×BD=S矩形A×BD

（公理1.1）

∵矩形DK×DE中，DK=BG

（命题1.34）

∴S矩形DK×DE=S矩形A×DE

（公理1.1）

∵矩形EL×EC中，EL=DK=BG

（命题1.34）

∴S矩形EL×EC=S矩形A×EC

（公理1.1）

∵S矩形BG×BC=S矩形BG×BD+S矩形DK×DE+S矩形EL×EC

（已知）

∴S矩形A×BC=S矩形A×BD+S矩形A×DE+S矩形A×EC

（公理1.1）

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用

公理1.1：为了尽可能地使每个步骤都有依据，译者将所有涉及“等量代换”的地方都写成了“公理1.1”，实际上两者不完全相同