高等数学第7讲-连续与间断

第七章 连续与间断

一、知识点

1. 函数不连续的例子：
   

   12:57

   
2. 连续：
3. 函数在一点连续：
   

   13:12

   
4. 与函数极限的概念对比，这里是x0的”某邻域内“而不是”去心邻域“，且邻域大小不考虑，只要有即可
5. 左连续，右连续
   

   25:30

   
6. 函数在区间上连续：
   

   38:20

   
7. 区分以下说法：
8. 点在圆上：圆周上
9. 点在圆内：圆周以内（不包括圆周上）
10. 点在圆中：圆周上+圆周以内
11. 点在圆外：圆周以外（不包括圆周上）
12. 定义：
13. 若f(x)在(a,b)内每点都连续，则f(x)在(a,b)内连续：
    

    41:39

    
14. 为什么开区间可以做到每点连续，但闭区间做不到？：因为开区间不包含两个端点，可以保证里面的每点都有邻域（邻域只强调存在性，不强调大小）
15. 若f(x)在(a,b)内连续，同时，在x=a处右连续，x=b处左连续，则称f(x)在[a,b]上连续：
    

    46:35

    
16. 连续函数的运算与初等函数的连续性：
17. 连续函数的运算：
    

    48:20

    
18. 四则运算：
19. f(x),g(x)在x0处都连续，那么f+g, f-g, f*g, f/g(g(x0)不等于0)皆在x0处连续：
    

    49:17

    
20. 由基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数在定义域内连续
21. 复合运算：
22. 复习复合函数求极限法则：见图1
    

    52:53

    
23. 连续函数复合运算法则：见图2
    

    01:04:34

    
24. 推论：复合函数当在某一层连续，在求极限时，"lim"可往里移动
25. 初等函数连续性
    

    01:17:10

    
26. 连续函数复合后仍能保持连续性
27. 基本初等函数在定义域内连续
28. 初等函数在定义区间内连续
29. 间断点及其分类：
30. 定义：
    

    01:28:31

    
    ，
    

    01:38:55

    
31. 分类：
    

    01:39:36

    
32. 第一类间断点有两种，第二类间断点不止两种
33. x=0不是lnx的间断点（因为只有右邻域，没有左邻域），是ln|x|的间断点
34. 判断：所有的分段函数都不是初等函数吗？错。
    

    02:00:NaN

    

图1：

图2：

二、证明

1. 证明“连续函数在进行有限次四则运算后仍是连续函数”：
   

   49:36

   
2. 证明复合函数求极限法则：
   

   57:01

   

三、计算

1. 补充定义使函数连续：
   

   01:43:51

   
2. 不要忘记利用连续这一个条件：

3.求间断点并分类：

题有误，是n趋于无穷