Kira | 3-2 泰勒公式，3大核心考点

1️⃣用泰勒公式求极限

常用麦克劳林公式

【泰勒展开到几次项?】x→0

上下同阶原则：分母xᵏ分子把能出现的所有情形都展出来

幂次取低原则：f(x)±g(x), f(x)与g(x)同步展开到不抵消最低次项

例1

• x·o(x²) =o(x³)
• o(x³) -o(x³) =o(x³)

• 也可以提cosx
• 乘除用等价无穷小，加减用麦克劳林公式

例2

• 如果分子有低于4次的项，那么整个极限是0，但是一般不会这样出题
• 建议相乘的时候，从次数小的往次数大的小，一般低次项都被消掉了
• 高于分母的项数统称高阶无穷小

2️⃣用泰勒公式求高阶函数

泰勒公式：①含大量x₀高阶导数值；②有唯一性

【注】泰勒公式仅能求一点处f(n)(x₀)，而不可求f(n)(x)表达式.

例3

• 泰克展开式的唯一性：xⁿ系数唯一

3️⃣用泰勒公式做证明题

关键问题：①展到几阶?②x和x₀的选择.

设f(x)在包含x₀的区间(a,b)内有直到n+1阶的导数，在区间[a,b]上有n阶连续导数，则对任意x∈[a,b]有

• 拉格朗日有直到n+1阶导数，展到n阶，余项写n+1阶
• x是被展开点
• ①给定函数值的点
• ②区间断点
• ③任意点
• ④中点
• x₀展开点
• ①各阶导数信息多的点
• ②需估计导数值的点
• ③任意点
• ④中点

例4

• 找x₀，题中给了导数值
• f(x)≤2恒成立

例5

• 二阶可导，展到一阶
• x₀选择极大值点，设c
• f(1)和f(0)都要找一下

例6

• x₀选任一点
• x在端点找
• f(1) -f(0)
• 套绝对值放缩
• |a + b +c| ≤|a| +|b| +|c|