【自学课堂】集合论（2）
3. The Axioms(公理)
A1. The Axiom of Existence(存在公理)
There exists a set which has no element.
"存在一个没有元素的集合"
(∃X)(∀Y)(Y∉X)
A2. The Axiom of Extensionality(外延公理)
If every element of X is an element of Y and every element of Y is an element of X, then X=Y.
(∀a)((a∈ X↔ a∈ Y) → X=Y)
翻译翻译
"你有的我有，我有的你有，那么你就是我，我就是你。等无差别。"
举个例子，所有的空集等无差别。说明A1所述空集的唯一性确实成立。即Lemma 3.1
（
能否推出
(∀a)((a∈ X↔ a∈ Y) ↔ X=Y)
存疑。
非但可以说“{}里所有的要素”，而且“{}里所有的要素”可以满足任何性质。
比如：
命题(∀a∈{})(a≠a)永真。
但凡{}里有一个东西就不行。“空集的性质”很狂野的！
某甲穷得叮当响，一无所有。当人问他“你有什么财产”时，他就可以说“我所有的财产都在这了！(对着空地指了指)”，他可以使用全称量词。但是不能在空集上使用存在量词，无论(∃a∈{})(a=a)还是(∃a∈{})(a≠a)都不行，都永假。就有这么玄妙，也只有这点玄妙。
3.2 Definition The (unipue) set with no element is called the empty set and is denoted ∅.
∅建议使用{}代替。至少有3个好处：输入方便、易于理解（一看就知道里面没东西）、方便扩充。
{X|X=X}
{X|X∈X}
这两个东西的矛盾发生机制还是没有想明白。
{X|X=X}里的东西都是与其自身等同的东西。但是根据A2，一切集合都与自身等同。所以它就是一切集合的集合（大全集）。
那么大全集是否属于大全集呢？
如果大全集不属于大全集，那么推出理发师悖论，这条分支结束。
但是如果大全集属于大全集又怎么说呢？
假如我断言{X|X∈X}∈{X|X∈X}，那么谁对此有意见吗？有意见，知道怎么推出矛盾的，请不吝指教。
A3. The Axiom Schema of Comprension
The Axiom Schema of Comprension怎么翻译？
GPT:
“The Axiom Schema of Comprehension” 应该翻译为「包容公理方案」或「概括公理方案」。其中，“Axiom Schema” 可以翻译为“公理方案”或“公理体系”，“of” 可以理解为“的”或“中的”，“Comprehension” 可以翻译为“包容”、“概括”或“理解”。根据上下文，如果是在集合论中，“Comprehension” 通常翻译为“包容”，表示使用某些条件定义一个集合。如果是在逻辑学中，“Comprehension” 通常翻译为“概括”，表示使用一个公式概括所有具有某个性质的对象。
【包容公理方案】字面意思就是考究什么能包容以及什么不能包容。或者说是包容性和包容度的考究。
Let P(x) be a property of x. For any set A, there is a set B such that x ∈ B if and only if x ∈ A and P(x).
(∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔(x∈A ∧ P(x)))
问GPT:
请解释如下命题 (∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔(x∈A ∧ P(x)))
GPT曰：
这个命题包含四个量词，可以逐个理解。
(∀A) 表示对于所有的 A，后面的表达式成立。
(∃B) 表示存在一个 B，后面的表达式成立。
(∀x) 表示对于任意的元素 x，后面的表达式成立。
x∈B↔(x∈A ∧ P(x)) 是一个条件语句。↔ 表示当且仅当，即前后两种情况是等价的。x∈B 与 (x∈A ∧ P(x)) 之间用↔连接，表示 x 属于集合 B 的充分必要条件是 x 同时属于集合 A 且满足性质 P。
综合起来，这个命题的意思是：对于任意一个集合 A，存在一个集合 B，使得对于任意一个元素 x，x 属于 B 的充分必要条件是 x 同时属于集合 A 且满足性质 P。
这个命题可以用来表示一种集合构造方法，即给定集合 A 和一个性质 P，可以构造一个新的集合 B，包含所有属于 A 且满足 P 的元素。这个集合构造方法也称为「包容公理方案」或「泛化公理方案」，是集合论的基础之一。
以上论述的直接作用是为如下表示法提供根据：
{x|P(x)}
这就是即众所周知的、唯二的、集合表示法的一种——描述法，
另一种是罗列法。我们并没有知道任何新的东西，只是这下知道了这看起来很简单、写起来也很简单的表示法的发生原理。
根据A3(概括公理方案)
现在我可以用{X|X=X}这种写法了。
那么它是如何与A3相矛盾的呢？
或更黑格尔一点的问法“‘我就是我’这句话有何矛盾？”
https://www.zhihu.com/question/602707257
(∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔(x∈A ∧ x=x))
⇔(∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔x∈A)
⇔"所有集合A都有一个集合B与祂相等"
⇔“所有集合都与自身相等”
{X|X=X}这“集合”中的元素的唯一的规定性就是与自身同一。除此之外没有任何规定性。但是不能直接有说祂是大全集。这是需要证明的！
大全集不存在，但是怎么证明{X|X=X}就是大全集呢？
好比大他者不存在，但凭啥说啥啥啥是大他者捏？难道，靠信仰吗？难道，硬说啥啥啥是大他者，啥啥啥就是大他者了吗？不见得吧。
一个集合就是一个宇宙，总能写成{x|P(x)}的形式。
P就是这个宇宙中的生成法则，非但是生成法则，而且一定是“大统一理论”性质的生成法则。P不能有自身矛盾。
这种宇宙的普遍形式是宇宙里还套着宇宙，各有各的生成法则。结构主义倾向性极强。
这种宇宙中的某一些，就可能和图灵完备的宇宙形成同构，其表象就是一个计算机系统。
（仅限形式逻辑所能生成的集合论宇宙）
3.3 Example If P and Q are sets, then there is a set R such that x ∈ R if and only if x ∈ P and x ∈ Q.
(∀P)(∀Q)(∃R)(∀x)(x∈ R↔(x∈P∧x∈Q))
⇔ "总能通过任意两个集合构造出一个祂们的交集来"
证明：考虑P(x,Q):=x∈Q。那么根据A3有
(∀P)(∀Q)(∃R)(∀x) (
(x∈ R↔(x∈P∧P(x,Q)))↔(x∈ R↔(x∈P∧x∈Q))
) ⇔T。
即证P、Q、R都是集合，且R={x|x∈P∧x∈Q}.
Q.E.D
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Although the supply of axioms is unlimited, this cause no problems, since it is easy to recognize whether a particular statement is or is not an axiom and since every proof uses only finitely many axioms.
GPT:
虽然公理的数量是无限的，但这并不会引起问题，因为我们可以轻易地判断一个命题是否是一个公理，而且每个证明只使用有限数量的公理。
The property P(x) can depend on other parameters p,...,q and any A, there is a set B (depending on p,...,q and, of course, on A) consisting exactly of all those x ∈ A for which P(x, p,...,q).
GPT:
属性P(x)可能依赖于其他参数p,…,q和任何A，对于任何A，存在一个B集合（其依赖于p,…,q和A），该集合恰好由所有满足P(x, p,…,q)的x ∈ A组成。
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3.4 Lemma
For every A, there is only one set B such that x ∈ B if and only if x ∈ A and P(x).
{A,B,C}:=∪{{A},{B,C}}
考虑
0:={}
1:={{}}
...
一般的说n:={0,...,n-1}
换句话说n+1:={0,...,n}=∪{n,{n}}
这样加法就实现了。但是只能+1。
而且还有
∪n=n-1
这样减法就实现了。但是只能-1。
但是∪0=0。负数现在还不存在。
请解释如下命题 (∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔(x∈A ∧ P(x)))
请解释如下命题 (∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔(x∈A ∧ P(x)))
请解释如下命题 (∀A)(∃B)(∀x)(x∈B↔(x∈A ∧ P(x)))
The Axiom Schema of Comprension怎么翻译？
