四省联考第16题, 与异或方程组

2023-03-11 23:05 作者:lequivalent 0人读过 | 我要投稿

总结: OI 不是白学的.

注: 下面的方法看上去很复杂, 但是如果熟练的话能做到很快. (不过大概还是比不过原神玩家.)

容易发现一个很强的性质, 就是按开关的顺序对状态没有影响.

所以我们设九个开关的状态分别为 $x_1%2C%5Ccdots%2Cx_9%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D$ (从上到下, 从左到右, 0 表示未按下, 1 表示按下), 方格的状态分别为 $y_1%2C%5Ccdots%2Cy_9%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D$ (同理).

我们考虑每个方格会如何被其周围的方格影响.

以 $y_4$ 为例, 我们发现它会被 $x_1%2Cx_4%2Cx_5%2Cx_7$ 决定.

具体地, 我们有 $y_4%3Dx_1%20%5Ctext%7B%20xor%20%7D%20x_4%20%5Ctext%7B%20xor%20%7D%20x_5%5Ctext%7B%20xor%20%7D%20x_7$ .

信息技术课学的好的同学会知道这里的 $%5Ctext%7Bxor%7D$ 指的就是异或运算.

因为这里 $x_i%2Cy_i%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D$ , 我们可以简单理解成模 2 的加法.

也就是说上面的式子等价于这个式子:

$y_4%5Cequiv%20x_1%2Bx_4%2Bx_5%2Bx_7%5Cpmod2$

很好理解吧.

所以我们只需要枚举 $y_i$ 把方程组列出来, 解就完事了!

所以下面是方程组构成的增广矩阵 (已经代入了 $y_1%3D1%2Cy_i%3D0(1%3Ci%5Cleqslant9)$ ):

$%5Cbegin%7Bbmatrix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end%7Bbmatrix%7D$

简单解释一下.

每一行表示一个方程. 前九个数表示九个未知数 $x_i$ 的系数(实际上系数应该都是1和0, 但是那样容易写串), 最后一个数就是 $y_i$ .

比如第一行就表示, $x_1%5Ctext%7B%20xor%20%7Dx_2%5Ctext%7B%20xor%20%7Dx_4%3Dy_1$ , 其中已知 $y_1%3D1$ .

列完了方程组, 考虑消元!

我们知道一般的线性方程组消元人力算起来是很费劲的. 但是这是异或方程组, 有性质:

$x%5Ctext%7B%20xor%20%7Dk%5Ctext%7B%20xor%20%7Dk%3Dx$ , $x%5Ctext%7B%20xor%20%7D0%3Dx$ (容易证明).

也就是说异或两次就相当于什么都没做, 并且 0 不会造成影响.

并且因为异或是有交换律和结合律的, 我们的消元操作实际上非常简单. 只需要把两个方程异或一下, 都出现的未知数就没了.

多说无用. 直接对上面的矩阵进行消元.

首先我们消 $x_1$ .

我们将第二行的方程异或上第一行:

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D2%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D4%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D1%7D%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D2%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D3%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D5%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BBlue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end%7Bbmatrix%7D$ $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D2%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D4%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D3%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D4%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D5%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed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end%7Bbmatrix%7D$

很简单吧. 注意最后一行是要算的.

如法炮制消第四行:

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D2%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D4%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%204%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%26%20%203%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%201%7D%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%205%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%207%7D%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%200%7D%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%209%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D2%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D4%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%204%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%26%20%203%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D2%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%205%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%207%7D%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%209%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

这样就消完一个未知数了!

当然我们也没有必要就执着于按顺序消. 我们可以通过选取恰当的消元顺序, 使消元的效果更好.

比如对于上面的方程组, 我们可以用第二行来消:

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%201%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%203%7D%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%205%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%202%7D%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%203%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%206%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%200%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%209%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%201%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%203%7D%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%205%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%202%7D%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%205%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%206%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%209%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

先别急. 我们会神奇的发现, 用第三行消第五行:

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%201%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%203%20%26%20%204%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%202%7D%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%205%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%206%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%202%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%205%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%206%7D%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%208%7D%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%200%7D%20%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%209%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%201%26%20%202%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%203%20%26%20%204%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%202%7D%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%204%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%205%7D%26%20%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%206%7D%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%208%7D%26%20%20%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%201%7D%20%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%207%26%20%208%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%208%26%20%209%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

即得 $x_8%3D1$ .

或许这样几步就消出来一个未知数有点碰运气的嫌疑. 不过实际上即便没有这样的观察, 因为这里矩阵的特殊性质(band-matrix), 朴素进行消元也会有不小的概率会遇到这种情况. 即使就是暴力消, 最终的运算量也不会有多大, 在草稿纸上用铅笔橡皮不用几分钟就能消完.

回到具体计算上. 将 $x_8%3D1$ 代入下面三个方程中 (之后不再用颜色区分正在进行消元操作的两行):

温馨提示: $1%5Ctext%7B%20xor%20%7D1%3D0$ .

用第九行消第六行, 第六行消第二行:

$%5Cbegin%7Bbmatrix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end%7Bbmatrix%7D$ $%5Cbegin%7Bbmatrix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end%7Bbmatrix%7D$

此时得到 $x_4%3D0$ .

$x_7%3D1$ . 代入, 然后用第四行消第三行:

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%201%26%20%202%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%20%26%20%20%20%26%20%204%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%202%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%20%26%20%202%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%208%26%20%20%261%20%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%203%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%207%26%20%20%26%20%20%261%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%205%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%209%260%20%5C%5C%0A%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%206%26%20%20%26%20%20%26%20%209%261%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ $%5Cbegin%7Bbmatrix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end%7Bbmatrix%7D$