【数学基础157】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（二十六）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&4.二阶常系数的线性微分方程

定义：

• 二阶常系数线性微分方程——当p(x)，q(x)为常数p，q时，即形如y''+py'+qy=f(x)的关系式。 

不使用常数变易法的3种情况：

1. 类型一：当f(x)=pn(x)；

2. 类型二：当f(x)=pn(x)e^αx；

3. 类型三：当f(x)=pn(x)(e^αx)sin βx或者f(x)=pn(x)(e^αx)cos βx；

——pn(x)为关于x的n次多项式，即pn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α，β为实数。

例题1：求y"+y'-2y=(x-2)e^x+4x^3-8x^2-12x+3一个特解.

解：

step1：（由解的叠加原理）将上述方程分解成两个方程，分别解出特解，所得线性组合，即为所求——

step2：解方程一，是类型二。按套路来做——

step3：解方程二，是类型一。按套路来做——

step4：将上述两个解相加，即为所求：

例题2：求y"-y=4xsin x

解：

按照类型三的讨论求解——

例题3：y"+y=xe^x(cos x).

解：

按照类型三的讨论求解——

*二阶欧拉（Euler）方程；

定义：一种可化成常系数线性微分方程的变系数线性微分方程，形如(x^2)y''+pxy'+qy=0的关系式。 

证明：