假设你是拉格朗日，你会这么干…

牛顿384、假设你是拉格朗日，你会这么干…

 

拉格朗日中值定理的辅助函数是怎么来的呢？——网友提问

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~383》…

 

“需要各位指点一下 谢谢”网友补充说。

 

…
空间之刃（发布于2020-09-20 11:42，8人赞同了该回答）：

假设你是拉格朗日。

你看到罗尔定理：f（a）=f（b）时，ab之间存在一点t，使f'（t）=0。

你说这个定理非常好用，但f（a）=f（b）这个条件太罕见了。想在f（a）≠f（b）时也能用。怎么办？

于是，你这个拉格朗日就发威了：

函数f（a），不管f（a）和f（b）是啥，ab之间存在t，让f’（t）=k。把k求出来，不就行了。

（“k的几何意义是和弦AB平行的切线的斜率，由于平行线斜率相等，所以弦AB的斜率也是k。”现代学者说。

“罗尔中值定理里，弦AB的斜率为0，即f'（t）=0。拉格朗日中值定理里，弦AB的斜率不为0。”现代学者说。

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

…切、线、切线：见《牛顿288》…

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…）

怎么求呢？

移项，f'（t）-k=0

这不就是罗尔定理的f'（t）=0的形式嘛。

…形、式、形式：见《欧几里得13》…

 

对f'（t）-g积分就是罗尔定理的原函数。

…积、分、积分：见《牛顿353~358》…

于是，令F（x）=f（x）-kx [这就是f'（t）-k的积分结果]。再根据罗尔定理的条件，令F（a）=F（b），把k求出来就齐活了。

 

F（a）=f（a）-ka

F（b）=f（b）-kb

又因为F（a）=F（b）

所以f（a）-ka=f（b）-kb

解得k=[f（b）-f（a）]/（b-a）

代入就是拉格朗日中值定理。

对于拉格朗日中值定理的证明，北大教材一个版本，清华教材一个版本，同济教材又一个版本。而这个做法跟那三个都不一样。仔细一看会发现一个非常搞笑的事。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

如果正规解积分的话：

F（x）=∫[f'（x）-k]dx=f（x）-kx+C

…∫：积分符号，为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

其中C是一个与x无关的任意常数。

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

 

这个C换一个就是北大版的辅助函数，再换一个就是清华版的，再换一个就是同济版的。而我为了图省事，直接让C=0。

 

不止是图省事。我做的时候是假设我根本不知道拉格朗日中值定理的最终形态，是一步步做出来的。

而他们那些方法，都是已知最终形态是什么，凑出过程而已。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

 

这样做当然能把C凑出花来了。

可恶的是，这些家伙都不说实话，而是给这些东西赋予非常复杂的几何意义，把人说得云里雾里不知所云。

…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…

 

评论:
rlgl（2020-10-27）：

！！！没错！！我自己写完就是个辅助函数g（x）=f（x）-kx（k就是那个ab斜率，简写下），结果一看书就懵b了，还以为我少搞了个啥条件。

看了半天感觉自己没得错啊，就来百度了。

李子（编辑于2018-04-12 07:33）：

我觉得同济七的说明、感觉像是知道定理然后去凑的一样。。。

就是感觉像凑的一样。。

为啥我发不了图。。

“我们知道函数的微分dy=f’（x）△x是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；

而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的精确表达式，这就是该公式的价值所在。

请看下集《牛顿385、拉格朗日中值公式给出了函数增量Δy的精确表达式》”

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