第四章 质变的数学模型

科学是反复无常的，她喜欢年轻人······她偏爱令人头晕目眩的胡思乱想的人，她被反叛者和革命家的精神所迷住。

无名氏

 

 

        我们讨论了系统的形成、稳定和崩溃，也讨论了旧系统结构被新系统结构取代的趋势。但是，在系统演化的历史上，还有一个重要的环节：新系统结构是如何取代旧系统结构的？或者说，系统结构演化的方式如何？这个问题，人们早就注意到了，即事物的新质态是如何取代旧质态的？因为事物性质由系统结构决定，所以新质态如何取代旧质态正和结构演化方式相关。这不仅是科学家感兴趣的课题，也是哲学家关心和争论着的问题。这一章我们将在前面系统稳定讨论的基础上，运用国外数学界近年发展起来的突变理论，对此展开深入的研究。

        长期以来，在学术界流行着一种观点，似乎认为质态之间的转化一定要通过飞跃来实现。我们利用系统演化理论对这个问题进行研究，就可以发现质态的转化既可以通过飞跃来实现，也可以通过渐变来实现。

        我们在这里还将根据系统稳态结构对识别自然现象是飞跃还是渐变提出一个新的判定原则，并对质变过程中关节点、矫枉过正和极端共存等现象发生的规律性进行探讨。我们认为突变理论和系统论为研究质态的转化提供了数学模型，对发展质变量变规律有重大意义。

 

 

4.1 哲学家和数学家共同的难题

        事物由一种质态向另一种质态的转化，通常被称为质变。事物的变化到了一定的限度，到了一定的关节点，平滑连续的过程会中断，新的质变会以不连续的方式突然出现。多少个世纪以来，这种突变现象弄得人们眼花缭乱，它们往往悖于常理而成为人们认识中最不可捉摸的部分。这类现象早就引起了哲学家和科学家的兴趣，并且始终成为一个有重大争议的哲学课题。

        哲学上关于质变问题的争论，长期以来集中在一个焦点上：质变究竟是通过飞跃还是通过渐变来实现的？人们筛选出成打的例子来作为自己的论据，结论却大不相同，它们基本上可以归纳为三大派意见。

        第一种可以称为“飞跃论”。

        他们认为从一种质态往另一种质态的转化必然是一种突变、一种飞跃，渐进过程必然要中断，出现一个区别两种质态的关节点，以不连续的方式完成从旧质往新质的过渡。他们最常举的例子包括暴力革命，材料的断裂，临界质量以上的核反应，经济危机的爆发以及水在常压下的沸腾等等。

        第二种可以称为“渐进论”。

        他们认为在任何两种质态之间不存在什么绝对分明和固定不变的界限，不存在“非此即彼”的绝对有效性。一切对立都互为中介，一切差异都在中间阶段互相融合。因此，不同质态之间的转化，归根结底是渐进的、连续的。他们的论据包括经济复苏，燃料的缓慢氧化，水分的挥发，社会的改良，移风易俗以及生物进化等等。

        这一类变化很难找到一个可以明显区别两种质态的关节点，事物缓慢地、连续地完成旧质态向新质态的过渡。以这种转化观点构成自己进化论基础的达尔文甚至倾向于赞同“自然界没有飞跃”这句古老的格言。

        这两种意见相互对立，又都有各自的根据，长期以来相持不下。在很长一段时间里，飞跃论曾被解释成惟一正确的辩证转化观点。但是苏联学术界就语言学问题展开大讨论的时候，以马尔学派为代表的飞跃论却暴露出它的弱点。

        语言的演化与暴力革命完全不同。它不是通过突然的飞跃，不是通过现存语言的突然消灭和新语言的突然创造，而是通过新质要素的逐渐积累和旧质要素的逐渐衰亡来实现的。这样，就在理论上出现了一个矛盾，一方面不能放弃质变就是飞跃的原则，一方面又得承认质变在客观上可以具有不同的进行方式。

        为了弥合这种理论上的矛盾，苏联学术界在批判马尔学派的同时，提出了一个“爆发式飞跃和非爆发式飞跃”理论。这个理论一方面继续确认质变就是飞跃，一方面又把飞跃分为爆发式和非爆发式两种。他们把像暴力革命这一类飞跃论所说的质变方式称为爆发式飞跃，把语言的演化这一类渐进论所说的质变方式称为非爆发式飞跃。

        这个“爆发式飞跃和非爆发式飞跃”理论代表了质变转化方式中的第三种观点，我们可以称之为“两种飞跃”论。这个理论对我国哲学界的影响很大。看起来，它似乎解决了质变的途径问题，实际上只要认真地分析一下，就可以发现这个理论隐含着严重的逻辑困难，我们认为很有讨论的必要。

        飞跃就是质变呢，还是质变的一种方式？“两种飞跃论”认为：“旧质到新质的转化就是发展中的飞跃。”这样，先把质变跟飞跃定义成同一个东西，再来讨论质变必须通过飞跃实现还有什么意义呢？既然规定了质变就是飞跃，接下去的讨论就相当于规定飞跃必须通过飞跃来进行，人们看不出这种讨论有什么价值。因此，我们认为首先必须把质变和质变进行的方式严格地区分开来，不能混为一谈，否则在逻辑上就有同语反复之嫌。

        “两种飞跃论”所遇到的不止是一种逻辑上的困难，概念的混乱反映了这个理论存在着一些根本性的缺陷。事情并不像某些人想像的那么简单，有关质态转化的方式问题，看来是一个还未解决的哲学疑案。

        有趣的是，在哲学家遇到麻烦的同时，飞跃现象也使数学家感到十分棘手。在数学领域里，三百年以来，微积分所提供的方法圆满地处理了那些连续、平滑的变化过程，但一旦遇到突变问题，已有的微分方程就往往碰到困难。有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？提出这样的问题似乎难以令人相信会得到什么结果。且不谈数学处理本身的复杂性，怎么能设想自然界那些形形色色的突变会有本质上同一的变化方式，会就范于一种共同的数学模型呢？

        哲学和科学再一次汇流在一起，它们从不同的角度思考着同一个问题。终于，人们迈出了可喜的一步。1972年法国数学家雷内·托姆发表了第一部著作，把他的工作叫做突变理论。托姆经过严密的数学推导证明了一个有趣的结论：当条件变量小于4个时，自然界各种突变，只有7种基本的方式。它们分别被称为折线型、尖点型、燕尾型、蝴蝶型、双曲型、椭圆型以及抛物型。这个重大的发现轰动了数学界，有人称之为牛顿和莱布尼茨发明微积分三百年以来数学上最大的革命。

        非常有趣的是，突变理论的核心思想正是我们前一章谈到的稳态结构。因此原则上突变理论对质变方式的研究是控制论系统论方法的延伸。在讨论其基本思想之前，我们先看它的具体结构。

 

 

4.2 质变可以通过飞跃和渐变两种方式实现

        从某种特定的观察条件出发枚举个别的例子来说明实现质变要经历飞跃或者要经历渐变都不困难。历史上的飞跃论和渐变论哲学家实际都是采用了这样的方法来论证自己的观点的。慷慨的大自然多彩多姿，变化万千，要举出一些特殊条件下的例子总是容易的。这使每一种观点都显得言出有据。

        物质相变是大家比较熟悉的，自古以来沸腾和凝固现象一直吸引着人们的兴趣，不少哲学家在讨论质变问题时喜欢引述这方面的例子。

        黑格尔在阐明质变量变规律时，就举了水结成冰的例子。他认为，“水经过冷却并不是逐渐变成坚硬的，并不是先成为胶状，然后再逐渐坚硬到冰的硬度，而是一下子便坚硬了”。他又说：“当水改变其温度时，不仅热因而少了，而且经历了固体、液体和气体的状态，这些不同的状态不是逐渐出现的；而正是在交错点上，温度改变的单纯渐进过程突然中断了，遏止了，另一状态的出现就是一个飞跃。一切生和死，不都是连续的渐进，倒是渐进的中断，是从量变到质变的飞跃。”

        从黑格尔所举的这个例子可以看出，他所说的飞跃，正是质变所经历的方式。水在冰点“一下子便坚硬了”确实是一个非常漂亮的例子，说明事物的质变是可以通过飞跃来实现的。这对于当时流行的“自然界中没有飞跃”的观点是相当有力的批判。

        那么，人们是不是据此就可以得出“一切质变都必须经过飞跃才能实现”的结论呢？

        正如我们不赞同“自然界没有飞跃”的渐变论一样，我们也不赞同质变必须经过飞跃才能实现的飞跃论。黑格尔只举了冰点时水的例子，事实上，自然界许多非晶体，例如玻璃、石蜡、沥青等物质，它们的液态在冷却过程中正是逐渐变硬的，正是先变成胶状，然后再逐渐坚硬到一定的硬度，而不存在一下子变硬的飞跃过程。甚至在日常生活中，人们也可以发现，与空气接触的一杯水（物理、化学上称为双组分体系），可以不经过沸腾那样的飞跃方式，而经过逐渐挥发的渐变方式变成水蒸气。

        就以黑格尔所举的水的相变为例。他在大谈飞跃的时候，忽略了一个重要的条件：大气压力。他所说的沸腾、凝固、沸点、冰点，都只是在1个大气压的普通条件下而言的。大约一个世纪以后，人们发现了相律。根据相律，水经过沸腾飞跃为汽的现象只发生在一定的温度压力条件下。温度压力超过了一定的临界点，就不存在沸腾现象。突变理论为物态变化提供了比相律更为精确的数学拓扑模型，这些模型不但形象、有趣，对于我们研究质变量变规律也是非常重要的。

        根据突变理论，水的气液相变过程可以表示为图4.1的曲面，这个曲面被称为尖点型突变模型。曲面上的每一个点表示一定温度压力条件下水的密度状态。曲面总的趋势是由高往低倾斜，说明随着温度增高及压力降低，水由高密度的液态变为低密度的气态。这个曲面奇特的地方在于它有一个平滑的折叠，折叠越向后越窄，最后消失在三层汇合起来的那一点Q，Q就是临界点所对应的密度。除了折叠的中间那一叶，整个曲面都表示密度的稳定状态。折叠的中间叶是密度的不稳定状态。

        根据这个突变模型，我们可以看到，水由液态变为气态的过程可以通过两种截然不同的方式来进行。

        第一种方式是当条件温度压力沿着AFB方向变化。

        常压下水加热到100℃沸腾，变为水蒸气就属于这种情况。起初在AF阶段，随着温度升高压力降低，水的密度在曲面的上方沿着斜坡连续下降，但还保持在高密度液态区，这相当于常压下水加热到100℃之前的阶段，虽然密度有所降低，还保持是液态的水。但到了折叠的边缘F，曲面的上叶突然中断了，密度值一下子跌到曲面下叶的气态区域，发生了不连续变化。这相当于常压下水加热到100℃时发生沸腾的现象。它是一次飞跃，一次突变。

        除了采用沸腾的飞跃方式，水由液态变为气态还可以通过第二种方式渐变来实现，这种情况发生在条件温度压力沿着CD方向变化的时候。

        从图4.1可以看到，当温度和压力沿CD方向绕过了临界点，从曲面折叠后面的斜坡变化时，水的密度的变化就是连续的。液态的水的密度值是逐渐降低的，它经由一系列似水非水，似气非气的中间状态连续地变化为气态。整个液气转化过程中不发生飞跃，不发生突变，不存在沸腾现象，找不到一个可以称之为沸点的关节点（或称交错点）可以把水的液态和气态区分开来。

        同样的两种方式也适用于气态变为液态的过程。从图4.1可以看出，气态变为液态可以分别通过BEA的飞跃方式和DC的渐变方式来进行。不过，以飞跃方式进行时，飞跃的关节点不是F，而是E。密度值在E点一下子由气态区上升到液态区，这就是冷凝现象。

        突变理论考虑问题的角度跟以往的一些理论不同，它不但关系事物在某种特定条件下的质变方式，而且更注重研究当条件发生变化时事物质变方式的改变。可以说，托姆的突变理论的本质就是揭示事物质变方式是如何依赖条件变化的。他不是凭经验、凭猜测，而是通过极其严格的数学推导建立了他的理论。这使他的理论有一个坚实的科学基础，能够站在一个新的高度洞察事物质变的全过程，克服以往一些理论的偏颇。

        艾思奇同志在《大众哲学》中曾经举过一个雷峰塔倒塌的例子，来通俗地说明质量互变规律。他说，塔的倒塌经过了两个阶段，第一个阶段是愚民把砖一块块地偷走，塔身的支持力渐渐减弱，但塔始终是塔，表面上看不出有什么变化。这个时期是量变，是渐变。第二阶段是在倒塌时的变化，砖的减少已达到最高限度，塔已不能支持原来的形状，于是哗啦一声，倒塌下去。这时的变化很明显，因此这一时期的变化是质变，是突变。

        艾思奇先生的这个例子代表了一种典型的质量转化观点，形象地说明质变阶段雷峰塔是如何“哗啦一声，倒塌下去”，突变为一堆废墟的。但是，除了以这样一种突变或飞跃的方式质变之外，就没有其他的方式了吗？如果我们设想那些愚民们每天不是从塔底把砖一块块偷走，而是从塔顶开始把砖一块块偷走（我们暂且假设他们克服了种种技术上的困难），那会发生什么情况呢？显然，从塔顶一块块一层层地偷砖，直到偷光为止，也不会发生“哗啦一声，倒塌下去”的突变现象，也不会有飞跃出现。整座塔完全可能逐渐地被毁掉，以渐进方式完成质变。

        突变理论的基本思想是深刻的，然而并不复杂。突变理论是从稳态结构的研究开始的。1972年托姆出版了一本系统阐述突变理论的著作，书名就叫《结构稳定性和形态发生学》。突变理论通过对稳态结构的研究，广义地回答了为什么有的事物不变，有的渐变，有的则是突变。一种对事物的变化有深知灼见的理论却来源于对事物不变性的洞察，这是一个意外的出发点。对它的研究有助于我们了解突变理论的深刻思想，了解这个理论的意义不仅仅在于给出了种种形状古怪的模型而已。

 

 

4.3 事物为什么具有确定的性质

        为了研究质变的方式，我们首先必须解决一个问题，这就是为什么物质会具有某一种确定的性质？这个问题或许哲学家会认为不成问题，因为物质总是具有一定属性的嘛。但是对于科学家，这个问题却常常引起他们的深思。为什么这块木头有它固定的物理性质？为什么这杯水有它固定的化学性质？

        科学家发现，任何物质都处于内外环境密不可分的作用之中，任何物质都会受到来自内部和外部不可排除的干扰。木块受到内外应力的复杂干扰，它为什么没有在压力的作用下变成碎片呢？水分子由两个氢原子和一个氧原子组成，氢原子和氧原子不断受到内在电子运动和外来分子的干扰，这些干扰使氢氧原子处于不断振动之中。这种振动为什么没有动摇水分子的结构，使氢氧原子飞散开去呢？就拿原子本身而言，它也处于内部基本粒子运动和外部场的不断干扰之中，为什么原子没有瓦解呢？

        实际上，任何一种物质都是一个系统，系统的可能结构是很多的，它的结构在内外干扰作用下不断发生这样的形变。在干扰存在条件下，只有稳态结构才能存在，因此，事物表现出的性质一般都是某一种稳态结构所具备的质。换言之，对于事物质的规定，干扰像海浪一样包围着它，冲击着它。在干扰的冲击之下，物质要具有某一种确定的性质，无论是几何形状、物理性质或化学性质，都不能是任意的。这种性质必须具有稳定性，要满足稳定性必备的条件。也就是说，系统表现出的确定性质必须是系统稳态结构所决定的性质。

        关于稳态结构，我们在前一章已有很多描述。但前面仅仅从系统各部分之间互相作用来把握稳态结构的。现在我们把稳态结构和系统的某一种质的规定性联合起来考察，我们把由稳态结构决定的性质称为事物质的“稳定性”。初看起来，质的稳定性似乎就是一种不变的性质，其实问题要复杂得多，在控制论中，它有着深刻严格的含义。

        从稳态结构角度分析，质的稳定性大致包括了这样几类含义。

        第一类质的稳定性的含义是，当事物受到一个比较大的干扰时，事物质的规定性也即状态发生的变化很小。

        乌龟的盔甲、蜗牛的壳以及人类的房子都具有这种稳定作用，它们使外界温度的、机械的以及各种其他变化不致对内环境发生显著的影响。化学中常用的缓冲溶液也具有这种性质。比如我们配成缓冲溶液，它的pH值为4.74。当溶液受到较大的干扰，如加入一定量的酸和碱时，pH值的变化不大。这种性质非常宝贵，我们知道，许多化学反应需要在较稳定的酸碱度条件下进行，用这种方法配制的缓冲溶液，提供了一个稳定的酸碱环境。这里pH4.74被称为这个缓冲溶液的稳定态。

        第二类稳定性的含义是指事物处于这样一种性质或这样一个状态，如果我们给事物一个干扰，使事物偏离这一状态，事物能以某种方式自动地回到那个原来状态去。

        不倒翁的直立是一个稳定态，无论干扰使它的角度怎样发生偏离，只要干扰一消失，它又会自动回到直立状态。如果事物一旦偏离某一状态，再也回不去了，就叫不稳定。我们常说“危如累卵”，把鸡蛋一个个叠起来，那可是太不稳定了。只要稍有点干扰，比如一丝微风，走路时地板的震动，都会使鸡蛋摔下来。而鸡蛋一旦摔下来，它们不会自动地叠在一起。所以“累卵”是一个不稳定态。

        第三类稳定性似乎具有更广义的含义，它指事物自动发生或容易发生的总趋势。

        如果一个事物能自动发生趋向某一状态的变化，那么我们就说这一状态比原来的状态更稳定。这在系统的研究中特别重要。我们前面讲过的自组织系统，在这个意义上就是在自动趋向稳定态。

        不管对质的稳定性的定义如何，它都是指在内外干扰下事物保持自身某一状态不变的能力，它的意义对我们的研究极为重要。我们这个世界之所以是现在这个世界，各种事物之所以能存在并进行有规律的运动，都离不开稳定性。

        经济发展需要有稳定的货币。生物的生存需要有稳定的内环境。任何一种语言的词汇实际总是稳定在一定的数量极上，太少了不能表达思想，太多了无法掌握。任何物理规律也有稳定性，这是近代科学的信条。一个微分方程如果不是稳定的，就不能代表物理规律。

        事物内在的联系如果没有稳定性，那么这种联系既发现不了，也不会对事物的发展起支配作用。

 

 

4.4 稳定机制：稳态结构的数学表达

        一旦我们把事物某一种性质的稳定性与稳态结构联系起来考察。认为事物任何存在的质或多或少都具有稳态结构所刻画的稳定性，这就为我们深入研究质变方式找到一个关键的突破口。因为对于任何一种稳态结构，系统内各子系统的互相作用与调节是保持它稳定的机制。那么对于事物任何一种确定的质，我们也都能发现保持这一质的稳定性的稳定机制。没有这种稳定机制，事物是不会具有相应质态的。什么叫稳定机制呢？我们来举一个例子。

        我们知道，一个坑中的小球，就其位置而言，是稳定的。因为小球不管受到哪一方向的外力干扰使它偏离了稳定位置，只要干扰消失，小球都可以滚回到坑的底部。而一个放在物体尖端上的小球，它的位置是不稳定的。因为一旦外力干扰使它发生偏移，就回不到原来的状态了。坑中小球的位置为什么稳定？因为有坑的存在，坑和重力构成了保持小球位置稳定的稳定机制。

        那么对于其他物质的各种性质，如化学、物理性质，有没有类似现象呢？有的。任何一种物质要保持其某一性质的稳定，必定有一种相应的稳定机制。这种稳定机制或者是事物内部结构中各部分相互作用造成的，或者是在人参与控制的条件下形成的。不论是哪一种稳定机制，我们都可以用动态图和可能性空间势函数洼的形式表示出来。这里所说的洼并不是坑中小球那种现实空间的洼，而是一种表示物质性质的抽象空间的洼。这一节我们就要着重研究一下这个问题。

        让我们先来比较两个实验。图4.2a表示相同的两根弹簧，分别把它们的一端固定起来，另一端在自由的情况下分别处于A、B两点。现在把它们都拴在一个小球上，我们可以看到，由于两根弹簧相反的拉力，不管小球开始处于什么状态，最后都会弹回AB的中点。这是稳定态。

         如果我们在A、B两点分别放两个带正电荷的小球（图4.2b），在它们中间放一个带负电荷的小球，那么负电小球也受到方向相反的引力作用。不过跟弹簧实验相反，我们发现负电荷小球在AB之间的任何位置都是不稳定的。即使在AB的中点0，只要稍微受到一点干扰，它要么往A跑，要么往B跑，不会呆着不动。这说明它在AB之间没有稳定态。显然，在第一个例子中，弹簧构成保持0点稳定的机制，而在第二个例子中没有。

        如果我们把AB之间小球各点的运动趋势都用箭头标出来，就得到图4.3。我们看到，弹簧实验中小球各点的运动方向都指向0（图4.3a），而电荷实验中小球在AB之间没有一个共同的归宿（图4.3b）。

         图4.3这种表示方法被称为某种变换的动态图，图上按箭头方向移动的点称为示象点，它们表示变换所经历的各个状态。大多数城市的公共汽车站牌上，用动态图向乘客指示汽车行驶的方向。在我们的讨论中，动态图可以用来指示一系列变化中稳定态的位置。

        图4.4的两个动态图，分别表示A点是稳定的和不稳定的两种情况。有稳定态的动态图在行为上刻画了稳定机制。

         如果各个状态的变化是连续的，我们可以用空间连续的箭头来表示状态之间的变化关系。图4.5就是几种连续的稳定和不稳定情况。

        除了动态图，人们还经常用势函数曲线来表示稳定机制。

        物理学认为，自然界存在的任何物质从能量上讲必须具有稳定性。比如两个氢原子组成一个氢分子，两个氢原子之间的距离必定是势能最小的距离R（图4.6）。这样的结构是氢分子结构中最稳定的结构。为什么呢？因为干扰是无处不在的，如果氢分子的能量（由原子之间的距离R决定）比邻近结构高，那么任何一点外界干扰都会使氢分子发生变化，放出能量，原有的结构也就不能稳定地存在。氢原子之间的距离最终将趋于势能曲线洼的最低部，达到稳定态。

         图4.6这条曲线又被称为氢原子距离的势函数曲线。势函数具有广泛的意义。对自然界不同的过程，势函数的物理意义是不同的。

        对于水的物相，势函数是自由能Z，它的势函数曲线如图4.7。这条势函数曲线上分布着三个洼。由于事物的状态总是自动趋向势函数值较小的位置，因此势函数曲线的洼底就一定是事物的稳定态。不管干扰使状态如何变动，事物最终将回到洼底这个位置上。势函数洼的这种性质被人们用来描述事物的稳定性。每一个洼都表示事物的一个稳定态，洼底的位置就是稳定态的位置，洼越深意味着相应的稳定态越稳定。图4.6曲线只有一个洼，意味着氢分子只有一种稳定的结构。图4.7曲线有三个洼，它们分别代表水的固、液、气三种稳定的物态。

        在弹簧实验和电荷实验中，如果分别用虎克定律和库仑定律计算一下，就可以看到原来弹簧小球位置的势函数有一个洼，所以它有稳定态（图4.8a），而电荷小球位置的势函数没有洼，所以没有稳定态（图4.8b）。

        当事物的状态空间不是一维的时候，也可以用洼来表示稳定机制。二维状态空间的洼不是由一条曲线组成的，而是由一个曲面围成的。图4.9中一个势函数曲面有洼，另一个没有洼，它们分别表示有稳定态和没有稳定态的情况。

细心的读者或许已经发现：

        如果把图4.8的势函数曲线投影到底边上，ab之间的箭头方向跟图4.3是一致的。

        如果把图4.9的势函数曲面投影到底平面上，就得到跟图4.5相似的箭头。这说明用动态图来表示事物的稳定机制跟用势函数来表示是一致的。

        人们一定会问，这种表示稳定机制和稳定结构的方法普遍性如何？实际上，虽然事物性质千差万别，但其丰富的质的规定性都相应着各层次存在着这样那样的稳定机制。

        比如地面上任一个不动的物体，在力学上是稳定的。地心引力、摩擦力、地面反作用力一起构成保持其位置不变的稳定机制，这一机制可用势能函数曲线洼表示。

        同时这一物体之所以有一定的化学和物理性质，是由于在分子层次原子间的作用能是保持它具有确定物质结构的稳定机制。它可以表示为化学能量曲面的洼。

        即使到了基本粒子层次，原子核之所以能稳定存在，也存在着相应的稳定机制，这种机制又能表示为势函数洼的形式。利用势函数洼来表示稳定机制不但形象，而且有许多奇妙的用处。最有意义的，就是利用它可以非常清晰有力地阐明事物质变过程中出现飞跃或渐变的原因。

 

 

4.5 事物性质的不变、渐变和突变

        事物在发生变化的时候，势函数曲线以及它的洼是怎样变化的呢？我们先来分析一个简单的例子。对一块直立的长方形木块施加一个推力，假定木块的支点因摩擦作用不动，那么随着F的增大，木块逐渐倾斜，木块底边与地面的夹角逐渐增大。当木块倾斜到某一个角度时，渐变过程就中断，木块突然翻倒，夹角一下子从飞跃到90°。这是一个在推力作用下木块的稳定性被破坏的过程（图4.10）。

         木块在没有的情况下，只可能处于直立或横立两个稳定的状态。也就是说，角的稳定态只有0°和90°。无论木块开始时倾斜成什么角度，最后要么直立，要么横立，别无选择。如果我们画出木块在前面几次翻倒运动中重心的轨迹，得到图4.11中那一条曲线，它由几条圆弧组成。这条曲线也就是木块的势函数曲线。它有两个洼，洼底的位置a和b对应着木块直立和横立两个稳定态。

         在推力F的作用下，木块的势函数曲线就逐渐发生了变化（图4.12）。可以看到，随着 ，这个阶段由于a洼没有消失，木块还处于稳定态中，角是逐渐由0°增大到的。到时，木块重心到位置，这时a洼消失，势函数曲线只剩下b洼，这意味着木块由第一个稳定态过渡到第二个稳定态，重心由飞跃到b，夹角相应由翻到90°，突变发生。

这个过程虽然比较简单，却很典型。它说明了几个问题：

        （1）当势函数的洼不变时，事物处于稳定不变的状态。

        （2）当条件的改变引起势函数洼的移动变浅时，事物发生渐变。势函数洼越浅，事物越不稳定。

        （3）当条件的改变使势函数旧有的洼消失，状态经历不稳定态往新洼过渡时，事物发生突变。旧洼消失的那一点，就是飞跃的关节点。

        从势函数曲线洼的变化，可以解释为什么尖点型模型的前面会出现一个折叠。当然，突变理论严格的数学推导较为复杂，但对它作直观的说明却并不困难。

         我们看图4.13，垂直排列的一些平面表示有两个洼的势函数曲线的顺序变化，它们对应着事物两个稳定态的相互转化过程。底平面的一个变量表示条件的变化。如果我们把垂直平面中两个洼的位置投影到底平面上，就得到一条S形的曲线，它表示随着条件的变化，两个稳定态的转化过程。实际上，图4.1突变模型中的折叠面，就是由一系列这样的S形曲线连续地组合起来的。

        由此，我们不难理解为什么说突变理论是以结构稳定性的研究为基本出发点的了。

 

 

4.6 怎样判别飞跃

        那些主张“自然界没有飞跃”的人绝大多数场合都是基于这样一种信念：在任何两种质态之间总能找到一系列中间状态把它们联系起来，这些中间状态是任何转化过程必须要经历的。因此，不管转化的快慢如何，它们总是连续的、渐进的。

        比如水在常压下100℃沸腾成为水蒸气，我们说水从液态密度一下子变为气态密度，这是一个飞跃过程。但从渐变论的角度来说，水的密度变化也一定经历了液态密度到气态密度之间的那些中间密度过程，无非是时间极短而已，所以他们认为不能说其中出现了飞跃和中断。

        木块在外力作用下从直立状态翻倒为横立状态。开始在外力的作用下木块是逐渐倾斜的，当夹角到达某一个角度时，木块突然倒下，夹角从一下子变为90°，我们说这是一个飞跃。但渐变论者认为，不管木块翻转的速度如何，它都必须连续地经历0°到90°之间的一切角度，因此也不能说中间有什么飞跃阶段。

        这种观点尤其容易被生物学家接受。在研究生物进化时，随着大量具有中间性状的古生物化石被发现，物种之间的鸿沟逐渐被填平了，进化在大多数场合可以被理解为一种千百万年间发生的渐进的过渡，很难用“渐进的中断”、“不连续”、“突然发生”之类飞跃的模式来套用物种的转化。

        这种观点具有相当的说服力，对那些坚持“自然界充满了飞跃”的说法是一种挑战。这个问题的提出，正暴露出经典的飞跃论的一个严重缺点。

        经典的理论在确定一个过程是否是飞跃时，缺乏明确的判定原则，一般只简单地把飞跃说成是一个突然地、迅速地发生的过程，把飞跃和非飞跃归结为变化速度的区别。事实上这种判定原则并不总是适用的。它无法排除那些迅速地发生的渐进过程，无法理解那些花费时间较长的飞跃过程，也不能解释变化速度和关节点上的不连续性的关系。它经不起仔细推敲，反而为根本否定飞跃的存在提供了机会。

        两种飞跃论企图用“爆发式飞跃”和“非爆发式飞跃”来解释质变过程中存在的不同转化方式，但他们提出的判定爆发和非爆发的原则仍旧没有越出变化速度、渐进的中断、变化的突然性之类框框，因此不但没有解决经典飞跃论原有的困难，相反还带来了新的逻辑混乱。

        根据突变理论和系统稳态结构分析，我们可以提出一条新的判别飞跃的原则：如果质变中经历的中间过渡态是不稳定的，那么它就是一个飞跃过程，如果中间过渡是稳定的，那么它就是一个渐变过程。

        为什么不用中间过渡态是否存在或变化速度是否快慢来判定飞跃，而用中间过渡态是否稳定来判定飞跃呢？因为这样不但更科学更精确了，而且把握了飞跃过程和渐变过程本质上的差别。

        根据这条判定原则，我们说水在常压下100℃沸腾是一个飞跃，因为在这样的条件下，液态和气态密度之间的那些中间密度状态都是一些不稳定态，水的沸腾的本质是从液态稳定态向气态稳定态的过渡，它不能停留在不稳定的中间密度状态中。

        相反，如果按图4.1CD曲线控制条件，绕过了临界点，那么，液态和气态之间的中间密度状态都是稳定的，水可以不经过沸腾，而经过逐渐变稀薄，变成似水非水似气非气的一系列稳定的中间状态，采用一种渐变的方式。

        木块从直立状态翻倒的过程中，我们承认木块循序经历了从0°到90°之间的一切角度，但从角度开始，木块的重心超出了支点，它经历了一个不稳定的过渡阶段翻倒下来，因此它是一个飞跃。

        分析化学中，强酸强碱的滴定在等当点附近的pH行为历来被飞跃论者认为是一个飞跃。图4.14的滴定曲线显示出等当点附近的陡直变化，它表示滴定进行到等当点附近时pH发生迅速的改变。 

        实际上，整个滴定过程中溶液在滴定剂的控制下都是稳定的。即使在等当点附近，在严格滴定的条件下pH值还是受控的。即只要加入碱的量很少，总可以使溶液的pH变化充分小，曲线总是可微的。如果pH有不稳定的区间就无法用于定量分析。因此这是一个渐变过程。

        对于我们以前讨论过的那些有复杂反馈联系的系统、自繁殖系统和自组织系统，用稳态结构来判别飞跃具有特殊的意义。影响这类系统变化的因素往往很多，通常我们一时找不到简单的突变模型来描述它们。它们的变化不但取决于其他控制条件，还取决于系统变化本身。研究这类系统的飞跃是很有意思的。

        我们知道，燃料可以通过自然氧化的方式释放热量，也可以通过爆炸的方式释放热量，为什么有这种差别呢？

        原来，在爆炸的情况下，一部分燃料氧化后释放的热量不能及时散发掉，使周围温度迅速提高，加速了周围燃料的氧化并使温度进一步提高。这样，就形成了一个正反馈系统。只要有一小部分点燃，整块燃料就立即处于一种不稳定状态之中，以爆炸的方式一下子全部氧化。这是一个以飞跃完成的质变过程。

        而在自然氧化的情况下，由于热量能及时散发开去，一部分燃料的氧化并不影响整块燃料的稳定性，燃料可以通过稳定的氧化反应过程，不形成正反馈系统，因此这是一个以渐变完成的质变过程。

        同样的道理，我们可以把雪崩称为飞跃，而把滚雪球称为渐变，是因为雪堆在两种情况下稳定性不同的缘故。

        对于我们来说，要确定一个质变是由飞跃方式进行还是渐变方式进行，就不但要研究质变，而且要研究质变发生时事物的稳定性如何。

        黑格尔在《逻辑学》中曾经举过从头上拔走一根头发是否会成为秃子和从谷堆里取走一粒谷是否还会有谷堆的例子，借以说明量变如何导致了质变。显然，我们从头上拔走一根头发，剩下的头发还是稳定地长在头上的。我们取走一粒谷子，剩下的谷堆仍然可以保持着稳定性。因此秃子形成和谷堆取完的过程都是以渐变的方式实现的。

        如果是一副多米诺骨牌，情况就大不一样了。游戏的规则决定一旦倒了其中的一块，就会影响到其余骨牌的稳定性，相继跟着倒下来，这就是一个飞跃。因此，问题不在于变化的速度如何，而在于稳定性。无论我们怎样加快取谷粒的速度或者减慢多米诺骨牌倒下的速度，都不能改变它们各自渐变和飞跃的本质。

        我们也可以由此来分析雷峰塔的倒塌过程。愚人们从塔底把砖一块块偷走，从根本上动摇了雷峰塔的稳定性，到了一定的关节点，雷峰塔的稳定性被破坏，它哗啦一声倒塌下来。经历了一个不稳定的阶段，因此被判定为一个飞跃。如果愚人们从塔顶把砖一块块偷走，雷峰塔直到完全拆掉为止，都是稳定地过渡的，中间没有不稳定的阶段出现，这个质变就是渐变。所以问题也不在于愚人们偷砖的速度和塔倒塌的速度，而在于偷砖的方式，因为从塔底偷砖跟从塔顶偷砖对于整座塔稳定性的影响是不同的。

        与某些物理、化学过程相比，生物界的情况就要复杂得多。物种进化过程究竟是渐变还是飞跃，历来是有重大争议的课题。突变理论提示我们，要确定物种之间的演化是渐变还是飞跃，不但要证明各种过渡类型和中间类型是否存在，而且要研究这些过渡类型和中间类型的性状是否稳定。不能单凭过渡类型和中间类型的存在就判定一个进化过程为渐变。

        此外，生物的情况比较复杂，标志进化的特征性性状可能有多个，需要由多维状态变量来描述。根据突变理论，可能其中某些性状具有稳定的中间状态，而某些性状不具备稳定性。

        以古猿进化到人为例，四足爬行和直立行走之间的过渡性状从力学的角度来说是不稳定的，而制造工具、语言、能动性等等都完全可能有稳定的中间状态。考虑到各种性状的相关性（相关变异），用数学方法建立多维状态变量的进化模型可能相当复杂，但这是一个新的出发点，开展这方面的工作或许会导致我们对进化的本质有更深刻的了解。

        用稳定性来判别飞跃的原则也同样适用于研究社会科学问题。过去，我们把一切社会变革都说成是飞跃，看来是值得商榷的。分析一场社会变革以什么方式进行，主要不在于这场变革的发生是否突然，进行的速度是否迅速以及是否采用了暴力手段等等，而主要在于分析变革进行的过程中社会是不是基本处于一种稳定状态之中，整个社会的政治、经济、军事、人民的生活是否经历了大破坏、大动荡的不稳定时期。

        同样是封建社会向资本主义社会过渡，法国大革命就与日本的明治维新有显著的区别。明治维新之时，虽然倒幕派也曾与幕府以暴力相见，但明治政府实行的一系列改革，是在整个社会生活基本稳定的条件下进行的。而法国革命进行之时，整个社会生活都经历了激烈的动荡。

 

 

4.7 飞跃和渐变的条件

        突变理论通过模型告诉我们，质变的转化可以通过飞跃来实现，也可以通过渐变来实现。不仅如此，更重要的还指出，在什么控制条件下质变是飞跃的，什么控制条件下质变是渐进的。用数学语言来描述飞跃和渐变的条件并不困难。从图4.1我们已经知道，控制一个质变按飞跃方式进行还是按渐变方式进行，完全取决于如何控制条件的变化。尽管变化的起点相同，结果也相同，条件沿AB方向变化就发生飞跃，条件沿CD方向变化就发生渐变。那么能不能从突变模型得出某些一般性的结论呢？

        根据突变理论，可以得到一个比较粗略但很有趣的结论：在两个质态相互转化的过程中，总有两个跟条件的变化相关的基本因素，即维持旧质态稳定性的因素和建立新质态稳定性的因素。

        如果新质因素增强的同时，旧质因素没有明显减弱，质变不发生则已，一旦发生就可能以飞跃方式进行；

        如果新质因素增强的同时，旧质因素明显减弱，质变就可能以渐进方式进行。

        人们通常都有这样的经验，当促使质变发生和阻止质变发生的力量都很强，双方形成激烈的对抗，事物的质变要么不发生，要么就以飞跃的方式发生。如果双方的力量都不大，对抗就比较缓和，质变即使发生也是渐进式的。

        有的材料如生铁、岩石等不会轻易发生形变，一旦在强力作用下形变，它们就很可能一下子断裂。而有的材料如橡胶、塑胶很容易在外力作用下形变，即使发生形变它们也不会一下子断裂。

        人们得病的过程也有这样情况，发作的时候许多症状指标一下子偏离正常状态，痊癒的时候却要慢慢调养恢复。因为一般发病的时候致病因素比较强，人体的抵抗力也比较强，一旦发病人体就处于一个不稳定的状态，发生了飞跃。生了一场病以后，致病因素和人体抵抗力都减弱了，人体经历一个逐渐恢复的阶段。俗话说“病来如山倒，病去如抽丝”。突变理论暗示我们相应的病理模型中有一个折叠区，生病时各种控制因素将症状行为推入了这个折叠区，痊癒时各种因素又使行为绕开折叠区，沿着曲面的连续部分回升。

        对尖点型、蝴蝶型等偶次势函数突变，稳定态之间能够可逆地转变，即一种质态能够转变为另一种质态，另一种质态也能够变回这一种质态。突变理论指出，这类质变原则上可以通过控制条件的变化来选择飞跃方式或渐变方式。

        而对于折线型、燕尾型等奇次势函数突变，有一些不可逆稳定态。突变理论指出这类质变过程飞跃方式与渐变方式不一定能通过条件的改变来选择，这是值得注意的。

 

 

4.8 关节点：蝴蝶、燕尾及其他

        事物的质变都发生在关节点上吗？事物的不同质态是不是都可以找到关节点互相区别？关节点的位置随条件变化吗？是怎样变化的？

        经典的飞跃论确定了飞跃在质变过程中的绝对地位的同时，也确定了关节点的地位。他们认为事物的不同质态之间都存在着这样一些点，在这些点上，事物渐进的量变中止，出现飞跃，发生了质变。

        从历史上来看，飞跃论指出关节点的存在和性质，对根本不承认事物质态变化有限度的渐变论是一个有力的批判。但是，经典的飞跃论由于历史上科学技术背景的局限，只能模糊地感觉到关节点的存在，未能进一步研究关节点存在和变化的条件性。

        突变理论严格、全面地研究了关节点对条件变化的依赖关系，因而能够比较科学地描述关节点的存在和性质。根据突变理论，两种相互转化的质态之间的关节点并不是一个固定的点，而是随着条件变化有规律分布的一个区域。这种分布规律可以用图4.15表示。

        图中U与V两个变量分别表示两个控制事物质态变化的条件，在我们前面举过的例子中，它们是分别跟温度与压力有关。

        区域a和区域b分别表示a、b两种质态存在的范围，在我们讨论过的例子中它们分别表示水的液态和气态。

        图中的阴影区域就是关节点分布的范围，它的顶点Q是尖角形的，因此这个突变模型又叫尖点型。随着U、V变量的增大，阴影不断向前扩展。细心的读者或许已经想到，图4.15实际上就是图4.1在底平面上的投影，其中尖点角的阴影区，实际就是图4.1的折叠区的投影。

从图4.15可以看出，质态a和质态b之间可以通过许多条途径互相过渡，但总的来说，只有两种情况。

        一种是穿过阴影区，以AB线为代表的飞跃方式。

        质态沿AB由a往b转化的过程中，只要条件的变化一进入阴影区（折叠区）就意味着有飞跃为b的可能。阴影区内的每一个点都可以成为飞跃的关节点。因此我们说，关节点不是一个固定的点，而是随条件变化有规律分布的一个区域，这个区域在两种质态相互转变时必然是图中阴影区那样的一个尖点角形。

        根据突变理论，质变进行时具体在哪一点发生飞跃，取决于外界干扰的大小，干扰越大，飞跃发生得越早，关节点分布在AB线进入阴影区的部位。干扰越小，飞跃发生得越迟，关节点分布在AB线脱离阴影区的部位。

 

        一种是不穿过阴影区，以CD线为代表的渐变方式。

        如果沿CD线绕过了尖点角，质态a和质态b之间的过渡就以渐进的方式进行。从图中我们看到，在阴影区的左下方，区域a和区域b之间没有明确的分界，相应的行为曲面部分是连续的、稳定的，CD线经过一系列似a非a，似b非b的稳定中间状态过渡。

        由于没有穿过阴影区，因此在这种质变过程中找不到一个可以明确地把a态和b态明确区分开来的点，找不到一个“由量转化为质”的点，找不到一个会发生飞跃的点。一句话，这种质变过程不存在关节点。事物在由a往b过渡时，a态的成分逐渐减小，b态的成分逐渐增大，每走一步都比以前更接近b态，最后完全变为b态。

 

        在不同的突变模型中，关节点对条件变化有不同的依赖关系，它们有各自的分布范围。实际上，突变理论专家们都是用关节点在条件变量组成的空间中的分布图形来表达突变模型的。

        以上我们介绍的突变模型是尖点型，它是一种比较简单而又比较基本的模型，它刻画了两种稳定的质态相互转化的过程。如果有三种稳定的质态，并且它们能互相可逆地转化，那么就要用蝴蝶型突变来描述。例如水及其他物质常有固、液、气三种不同的物态，它们可以相互转化，相应的模型就是蝴蝶型的。尖点型突变实际上只是蝴蝶型的一种特殊情况。

        蝴蝶型的行为更复杂些，要用五维空间（一维状态变量，四维控制变量）才能完全表达出来。对于我们这个三维空间的世界，只能用固定某些变量的方法观察它的一些局部。如果我们固定两个控制变量，可以得到图4.16。

        其中U、V是控制变量，a、b、c分别表示三种不同的质态。除了三个单值区外，JQF是a、b两态共存的双值区，JRK是b、c两态共存的双值区，KE曲线与FH曲线之间是a、c两态共存的双值区。中间有一个口袋形的JFDK，它是a、b、c三态共存区，又叫三值区。整个图像如一只飞起的蝴蝶，蝴蝶型因以得名。

        上述结果最直接的证据就是水的相图。在温度压力构成的控制平面上，相关实际是蝴蝶型的（图4.1的尖角型是其中一部分）。 

        图4.17中JQF为气液共存区，JRK为固液共存区，KE和FH之间为固气共存区，其余部分是固液气三个单值区。一般情况下由于大量干扰的存在，这些双值区、三值区都被掩盖了。气液共存区缩小为MQ相平衡曲线，固液共存区缩小为MR相平衡曲线，固气共存区缩小为MN相平衡曲线，口袋形的三态共存区缩小为一个点M，这点称为三相点。

        这里，突变理论揭示的固、液、气三态转化规律比相律更为深刻。它不仅能解释过热、过饱和等现象，还能指出这些现象发生的范围。相律无法解释为什么MQ不能在平面上无限延伸，MN却可以延伸到绝对零度附近，而这些对于突变理论是很自然的结论。

        蝴蝶型突变在自然界广泛存在着，它描述了三种不同质态互相转化时关节点构成的几何形状。这些理论在化学中特别有用，例如研究周期表中各元素的氢氧化物的酸碱性。氢氧化物的水溶液有三种基本的性质：

        （1）电离出，溶液呈强酸性；

        （2）电离出，溶液呈强碱性；

        （3）不电离。

        显然，只要选择适当的控制变量，主控制平面上这些性质的分布应当是蝴蝶型的。上述论断被证实了。我们选择某些关键参数如离子半径和电负性建立控制平面，发现这三种性质的分布确实是蝴蝶型的。图4.18中从统计上看：

        JQF是强碱性与不电离两种性质共存区，这类氢氧化物呈弱碱性。

        JRK是强酸性与不电离两种性质共存区，氢氧化物呈弱酸性。

        KE和FH曲线之间是强碱与强酸两种性质共存区，H＋和OH-结合成水，氢氧化物不稳定，分解为氧化物。

        口袋形JFDK是强碱、强酸、不电离三种性质共存区，氢氧化物在这个区域呈酸碱两性。

        尖点型和蝴蝶型是几种质态之间能够可逆转化的模型。自然界有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人状态可以突变到死人状态，反过来却不行。这一类过程可以用折线型、燕尾型等势函数最高为奇次的模型来描述。图4.19为燕尾型突变中关节点的分布图。它像一只飞起的燕子尾巴。燕尾型和折叠型突变在几何光学上很有用处，它们成功地解释了彩虹的形状和一系列奇妙的光学现象。

        表4.1给出了控制变量不多于4个，状态变量不多于2个时的7种模型。这7种模型是最基本的。 

        如果稳定的质态增加到4个，描述它们之间变化的模型称为茅屋型（图4.20）和星型（图4.21）。

        随着控制变量增加，突变模型变得越来越复杂。数学上已经证明，当影响突变的控制变量多于5个时，突变模型有无限多种类型，这深刻地说明自然界质变形式的丰富性。

 

 

4.9 矫枉必须过正吗

        我国有句“矫枉必须过正，不过正不能矫枉”的成语。指的是有些事物在一定的条件作用下造成了一定的结果，但当这个条件消失后，结果并不消失，事物不能立即恢复原状，要等条件往相反方面变化到一定程度，出现很大的相反作用时事物才能恢复原状。用科学的术语来讲，这类矫枉过正的现象叫做滞后。

        例如我们对一段直的铁丝施加一定的作用力，它会产生弯曲现象，如果我们取消作用力，铁丝不会马上变直，它往往需要我们施加相当程度的相反作用才会变直。无论在自然科学还是在社会科学中，都经常可以遇到这类滞后现象。

        那么矫枉过正是不是一个普遍的规律？在任何情况下矫枉都必须过正吗？滞后现象的出现有什么规律性？这些问题也跟关节点出现的规律性问题一样，从前人们只是凭经验有一些模糊的笼统的认识，未能用科学的方法加以深入探讨。甚至在一段时期里，有人盲目地把矫枉过正现象绝对化了，在实际工作中事必过正，造成了许多不应有的损失。

        突变理论第一次发现了矫枉过正现象和飞跃现象之间的联系，揭示出这两种历来被人们孤立研究的现象具有同一的本质，从而为我们深入探讨矫枉过正问题提供了线索。突变理论指出，矫枉过正现象是有严格的条件的，只有当质变以飞跃方式进行时才可能发生。

        水的汽液相变过程中就常有矫枉过正现象发生，那就是水的过热现象和水蒸气的过冷现象。水在常压下的沸点是100℃，但是大家知道，如果用纯净的水做实验，并且充分排除掉振动等干扰，水加热到100℃往往还不沸腾，要稍高于100℃才通过沸腾变为水蒸气。相反，水蒸气照理在常压下100℃应当冷凝，但往往要稍低于100℃才通过冷凝变为水。这样就在100℃附近形成一个水的过热区和水蒸气的过冷区，也就是说，由水变为汽的关节点跟由汽变为水的关节点不是同一个，双方有一个滞后的差距，双方的质变都要过正才能恢复原状。这种现象我们可以用图4.22来表示。

         图4.22实际是图4.1尖点型模型的一个截面，图中水的密度曲线呈弯曲的折叠状，而通常所说水在常压下的沸点为100℃，只是有干扰情况下一个统计的数值。如果温度压力条件的变化绕过了折叠区，水汽不以沸腾和冷凝的方式质变，而以渐变的方式质变，就不存在关节点，也不会发生矫枉过正现象。

        上一章我们曾经研究过一个由老鼠、土蜂、三叶草和蛇组成的生态系统，它们之间有如下关系：老鼠破坏土蜂窝，土蜂传播三叶草花粉，三叶草养蛇，蛇吃老鼠。这个生态系统有两个稳定态。

        第一个稳定态是：老鼠多，土蜂少，三叶草少，蛇少。

        第二个稳定态是：老鼠少，土蜂多，三叶草多，蛇多。

        假定这个生态系统一开始处于第一个稳定态，田野附近的居民逐渐形成养猫的习惯，猫的数量增加，这个外加的条件对生态系统有什么影响呢？开始不会有什么变化，但猫多到一定程度就打破了原有的生态平衡，系统一下子飞跃到第二个稳定态（图4.23）。

 

        这时如果再减少猫的数量，生态系统会不会很快回到第一个稳定态呢？显然不会。因为蛇一多，它就有效地制约着老鼠的繁殖。必须使猫的数量减少到比原来少得多的程度，才会实现相反的飞跃，矫枉过正现象十分明显。在生态学中，条件的变化会导致某一生物的绝迹，滞后将是无限大，质变成为不可逆转的。

        我们说矫枉过正现象只有当质变以飞跃方式进行时才会发生，那么反过来是不是一切有飞跃出现的场合矫枉都必须过正呢？也不一定。根据突变理论，即使在飞跃发生的场合，矫枉过正也不一定是必须的。由于质变进行时总有各种各样的干扰存在，当干扰的作用相当大时，事物往往不必施加过量的相反作用就可以恢复原来的质态。

        突变理论指出，矫枉过正现象只可能存在于突变模型给出的关节点分布区域之内。在关节点分布区域之外，矫枉是不需要过正的。

 

 

4.10 极端共存

        另一种与质变有关的重要现象是极端共存，它也是第一次在突变理论中得到了比较透彻的研究的。

        这类现象一般发生在由众多相同的子系统组成的大系统中。在一定的条件下，大系统的各个子系统可能同时处于各种完全不同的质态之中。用通常的话来说，就是一个事物的某些部分以一种质态存在，同时，事物的其他部分则以另一种质态存在。

        例如水是由许多水分子组成的，在一般的情况下，水要么全部以固态方式存在，要么全部以液态或气态方式存在。但在一定的条件下，会出现两态共存区，例如气液共存区内，一部分水以气态方式而另一部分水以液态方式同时共存。对于水来说，还有一个三态共存区，即水的固、液、气三态可以同时共存，著名的水的三相点就是三态共存区。

        又如在激光器的谐振腔内，只要控制一定的条件，一部分气体分子处于高能态，而另一部分气体分子处于低能态中。高能态分子可以通过发光突变为低能态，低能态分子也可以被激发到高能态，两者的数目达成一定的平衡而共存。

        人们之所以把这种现象称为极端共存现象，是因为在共存区给出的条件下，共存的不同质态之间是不连续的。例如水在气、液共存区内只能处于气、液两种不同的质态，不能处于气、液两相中间的那些过渡态。

        达尔文最早发现生物界的极端共存现象。他在环球旅行时，发现太平洋一些群岛上的昆虫很特别。这些昆虫要么几乎没有翅膀，要么有极强的翅膀，而没有大陆上那种具有不强不弱中等翅膀的昆虫。达尔文经过研究发现，这是因为海岛上狂风暴雨的环境选择的结果。在狂风暴雨的条件下，昆虫要生存下去只有两种办法：要么翅膀退化，干脆不飞，躲进草里避风；要么具有强大的翅膀，能与狂风暴雨顽强地搏斗。而像大陆上那些中间性状的昆虫会飞又不是飞得极强就会被吹入海里，被淘汰掉。也就是说，在这样的条件下，两种极端的质态都是稳定的，而中间状态却是不稳定的。

        突变理论认为，极端共存有严格的条件。和矫枉过正现象一样，极端共存现象也只有在关节点分布区域内才可能发生。实际上，突变模型所表示的关节点分布区域，就是由两态共存区、三态共存区等等组成的。只有在这些共存区内，极端才有可能共存。而在共存区之外，要么只能存在单一的质态，要么只能存在那些极端之间的中间状态。

        例如铸铁中碳和硅的含量都很高时，形成石墨比较好的灰口铁。碳和硅含量都很低时，出现大量，形成白口铁。如果灰口铁和白口铁同时存在，则形成两种组织混合的麻口铁。根据突变理论，这两种质混合出现的共存区在控制平面中的分布应当呈尖角形。大量实验证明，理论的结果是一致的（图4.24）。

         我们可以在自然界找到大量事物的两种极端状态共存的现象，突变理论为探讨这些现象的规律性提供了有力的工具。

 

 

4.11 共同的使命

        突变或飞跃，这个错综复杂变幻奇妙的课题，科学家和哲学家早在古代就注意到了。近代随着工业革命的兴起，各种物质和能量变化的新现象不断被发现，各种新的社会现象不断产生，需要人们从理论上回答质态转化的一般性规律问题。黑格尔第一次把量转化为质和质转化为量作为系统变化规律表达出来，恩格斯对此作了高度评价，并把它上升到自然界和人类社会普遍规律的高度，给出了唯物主义的解释。

        一百年后的今天是个什么情况呢？科学技术在一日千里地发展，宏观世界和微观世界被人们更深入地研究着，整个自然科学包括那些研究我们人类自身的学科都出现了一系列重大的突破和进展。人们迫切需要有更精确、更细致、更完备的理论来描述客观世界态转化的过程。科学在发展，不会老停留在一个水平上。哲学也在发展，随着自然科学领域中每一个划时代的发现，唯物主义必然要改变自己的形式。

        突变理论的提出，启发我们深入探讨质变量变规律中那些尚待开拓的领域。当然，这个理论本身还处在幼年时期，正在发展之中，需要实践进一步检验，数学模型与现实世界之间的关系有待建立。在这些方面，科学与哲学都肩负着自己的使命。