《几何原本》命题3.2【夸克欧氏几何】

命题3.2：

如果在圆上取两点，那么两点的连线一定在圆内

已知：圆ABC，点A,点B在圆上

求证：AB在圆ABC内部

解：

设AB在圆ABC外

连接AB得到线段AEB

（公设1.1）

求出圆ABC的圆心点D

（命题3.1）

连接AD,BD,DE，DE与圆交点记为点F

（公设1.1）

证：

∵圆ABC中，AD=BD

（定义1.15）

∴∠DAE=∠DBE

（命题1.5）

∵△ADE中，∠DEB＞∠DAE

（命题1.16）

∴△BDE中，∠DEB＞∠DBE

（公理1.1）

∴BD＞DE

（命题1.19）

∵圆ABC中，BD=DF

（定义1.15）

∴DF＞DE

（公理11）

∴小的等于大的，这是不可能的

（公理1.5）

∴AB不在圆ABC外

同理可证，AB不在圆ABC上

∴AB在圆ABC内部

证毕

此命题将在命题3.13中被使用