【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep96】函数极限例题（六）

这几次都是书上的例题，这次的题目对之前数列极限一个结论的推广，结论要记住，以后会反复用到——

54例题

h.一个重要极限：lim （1+1/x）^x=e，x趋向于+∞时，lim （1+1/x）^x=e，x趋向于-∞时

lim （1+1/x）^x=e，x趋向于+∞时

1. 已知数列极限lim（1+1/n）^n=e；

2. 那么，

   lim（1+1/n）^（n+1）=lim（1+1/n）^n lim（1+1/n）=e*1=e，

   lim[1+1/（n+1）]^n=lim[1+1/（n+1）]^（n+1）lim[1+1/（n+1）]^（-1）=e*1=e；

3. 对于任意x>0，必然存在N'，使得N'<=x<N'+1，则1+1/（N'+1）<1+1/x<=1+1/N'；

4. 由3：[1+1/（N'+1）]^N'<=（1+1/x）^x<=（1+1/N'）^（N'+1）；

5. 令x趋向于+∞，则N'也趋向于无穷大，lim[1+1/（N'+1）]^N'=e，lim（1+1/N'）^（N'+1）=e，由夹逼准则，lim（1+1/x）^x=e.

lim （1+1/x）^x=e，x趋向于-∞时

1. x趋向于-∞，则-x趋向于+∞，令y=-x；

2. lim （1+1/x）^x=lim（1-1/y）^（-y）=lim[（y-1）/y]^（-y）=lim[y/（y-1）]^y=lim[1+1/（y-1）]^y=lim[1+1/（y-1）]^（y-1）lim[1+1/（y-1）]=e*1=e.

3. 证毕。

就到这里！