我与概率的第一年

一个学科学了一年会有什么变化。 从陌生到初识，再慢慢熟悉，再不经意间已经着迷，再最终决定将余生与之作伴，这是我与概率这一年里的故事。 我希望此刻流淌而出的文字在将来某一刻会成为激励自己的源泉，我希望未来的自己再看到这里时能够回想起一段造就他的岁月，无论他此刻如何，希望他能坚持自己。 去年九月，也就是大二上，我开始接触概率论这门课，在此之前我对它的了解可能仅仅停留在高考那点内容。所以一开始我并没太把这门学科放在心上，心里只有抽代与提前选了的实变，但上了几节课之后，我突然发现，实变与概率论前期授课内容存在高度重合，比如都会讲测度和sigma代数或者不可测集的构造什么的，很多时候上节课概率论老师刚讲的东西下一节课实变老师就讲了，很多概率老师为了赶进度霍霍过去的内容我在实变里面学到了。当然最主要的是实变老师本人对概率论有着非常浓厚的兴趣，会给我们补充很多概率的内容，同时概率论老师也讲得很好，所以在两个老师的熏陶下我打下了比较坚实的基础。 在后来进入状态之后我概率论的进度也开始补了上来，一部分原因是实变的积分理论自学完让我觉得基本的基础够了，另一部分原因是我抽代已经放弃掉了。概率论提上自学进程之后我攻克的第一个难关就是中心极限定理，我的目标是领会林德贝格的充要条件，这时我需要做非常多准备。除了关于特征函数的一些性质，还有一些估值方法以及收敛的问题。启发我理解这个定理的，除了教材作者李贤平的精心安排，还有另外两本书，我从普林斯顿概率论读本上领会了第一个版本的中心极限定理的证明思路以及了解到了要注意些什么问题。除此之外，我看到费勒的书一个关于增点的定理，从启发我从直观的角度去理解卷积。这样带来的直观使我在此后对于定理的理解中几乎没了困难，同时也影响了我直到今天以来的学习与思考的方式。 后来慢慢发现，像中心极限定理这种从现实的需求中来，在抽象的数学中又能有直观的体会的数学，便是概率这门学科最大的特色。我突然发现这门学科有着一种非常吸引我的魅力，它仿佛讲数学与我的生活交融为一体。我开始对它着迷了。 在这个学期接下来的日子里，我实变方面继续学了微分理论，学了一些Lp空间的理论以及它们的表示定理，概率方面学了各种大数定律，重对数律，虽然这两个当时证明看懂了，但直到前几个月我才觉得自己真正学会了。 后来疫情了，提前回家，我带了Royden的实分析，林正炎的概率不等式，陈希孺的数理统计。陈希孺那本书没时间看，其实也不是没时间，主要是临时改了主意，因为我决定提前选随机过程那门课，所以想提前预习一下。概率不等式算是看了一大半，学了不少技巧，Royden那本书第三部分的抽象测度论也学了，书最后讲到了Haar测度和概率泛函的不动点定理，算是结了个不错的尾。然后回校前剩下的时间我选择了读一本随机过程基础，这本书讲的是应用随机过程，里面丰富的例子以及金融上的应用给我第二个学期学习随机过程时带来了非常深刻的影响。一方面就是我确实就去选了金融数学那门课，那门课给我学的概率统计的工具非常多的应用机会，另一方面就是随机过程的教学直接从最抽象的理论出发，后来才知道老师教的内容几乎直接涵盖了两门研究生课程的量，而我前期积攒的大量例子使得我在学习的时候并不完全陌生，反而是感觉非常亲切，同时也感到惊喜。老师几乎两三次课就把我假期学了快10天的东西覆盖完了，而我一开始以为能够轻松应对的事情也变得非常富有挑战，后来学完之后，发现前方的路已然无比广阔。 我必须承认随机过程这门课是目前为止对我影响最大的，可能在这四年便是如此。老师八十多页的讲义，每一个字现在看来仍值得欣赏，从刚开始需要课下话四五倍的时间勉强消化，到后来具备了自学能力能够在课堂上就跟上与做出思考。从离散的马氏链到一般的马氏过程，从鞅到随机积分再到随机方程，我感觉每节课都能收获到知识。 在我逐渐理解这门课的知识之后我开始有一些问题去问老师，最开始是在QQ上问，偶尔线下问。有一次上完课在教室外面遇见了，他问起我是哪个年级的，同时也了解了我的一些学习状况，我就是在那时第一次说了那句“以后想做概率方面的研究”。后来我的学习中受到这位老师非常多的指导，我也从他身上学到了很多。当他给我介绍完kpz方程相关的理论并引我入门之后，我突然发现概率的今天与未来发展会是那么光明与值得期待。 从对概率与测度一无所知，到学了实变概率论测度论数理统计随机过程分形几何平稳过程，一年前的自己绝对不可能想象到自己能在一年后的丘赛拿奖，还是在概统赛道。回头一看才发现一年时间真的改变了很多，我希望下一个一年也可以继续坚持。 接下来首先是先得浪费一个月把当时不懂事的债给还了，所以这个第一年就算提前到这了吧。然后新的一学年里补好分析基础并入门spde和有向聚合物模型。 9月，再续下一个一年。