spq法的简单运用（二）

我们提升难度，来看例二

例二：非负实数满足，求证：

证明：左式==

故原不等式

记，

我们不妨直接借用例一的证法：使用三次不等式：进行放缩

那么

记不等号右边的式子为关于的函数，画出其图像：

可以看到，对于，是我们想要的，但对于，我们仍需讨论。不幸的是，这个讨论极为困难，因为式不等号左边是作为的系数存在，未完全分离，不容易继续放缩。

但我们不妨换一种放缩方式，不去放，而将一起放掉，这就需要四次不等式： 

那么，

只需证

记为上式不等号左边的部分，注意非负且，故

从函数图像可以看出在上恒大于等于0，从而原命题得证，下面我们证明这一断言：

显然是定义在上的连续函数，且仅有四个实根：

，

有五个实根：

我们只考虑在上的取值

，

注意到在上与x轴没有交点，且

从而在上恒大于0

同理可知在上恒小于0，在上恒大于0

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

注意，从而，当且仅当时取等

但意味着，与不等式的取等条件矛盾

故仅有时等号成立，此时

至此，原命题得证！