平面几何题目分享（10）一个经典问题的奇奇怪怪的解法

（写在前面凑字数）本题集主要由我比较喜欢的平面几何题目组成，也包括一定量改编或自编题。由于信息有限，部分题目可能无法标注出处。题目难度基本会保持在高联难度，有时也会出现一些较简单或较困难的题。（本题集无任何教育功能或目的，仅供娱乐）

题面：D为三角形ABC边BC上一点，△ABC，△ABD，△ACD内心分别为I，E，F，IH⊥BC，求证：DEFH四点共圆。

这道题还是比较容易上手的，由内心易得DE⊥DF，即可将问题转化为证明E，F在BC边的投影与DH中点重合，而H即E，F的投影都是内切圆切点，还是比较容易刻画的，这是此题的一般思路。

而当一段时间后重新看这道题时，我又关注到了题中的角。由于I，E，F均为内心，便会产生很多角的关系，进而得到等角共轭等具有特殊性质的点对，那么是否能运用这些性质解题呢？

以下便是这种解法。

由一堆角平分线，倒角得∠PAD=∠QAI，∠PAI=∠CAF，∠QAI=∠BAE。（这里的倒角是很基础的，就不详细写了）又因为IF，IE是角平分线，所以，I，F为△APC的一对等角共轭点。所以∠IPA=∠FPC。同理，∠IQA=∠EQB。再由∠PAD=∠QAI，得AD，EQ，FP三线共点K，且为点I关于△PAQ的等角共轭。

回到要证的问题，由DE⊥DE，只需EH⊥HF，即证∠IHF=∠EHP。

由要证的问题，及三线共点K，想到连接EF交AD于R，交CB延长线于S。由完全四边形调和性，可得FRES为调和点列。由调和点列的性质，要证垂直，只需证HE为角RHS的角平分线。这里我们发现了一个引人注目的角等：∠EHS=∠EHR=∠IHF。于是就会有I，K是四边形AEHF的一对等角共轭点的猜想。如果是，则∠EKH=∠AEI，且∠AFI=∠HFK。而关注到这两对角，自然也就不难发现下图的相似了。

由内心，有∠AFD=∠AIE=90°+1/2∠ACB，和∠EAI=∠DAF于是△AEI∽△ADF。同理，△AIF∽△AED。所以∠AEI=∠ADF=∠FDC，所以要证I，R等角共轭，即证∠FDC=∠FEH。但是，证∠FDC=∠FEH需要DEFH四点共圆，这是我们要证的。证明到这里陷入了僵局。但不要慌，同一法会帮大忙！

我们不妨设△DEF的外接圆再次交BC于X，只需证X于H重合，即IX⊥BC。这时，我们便可以用四点共圆带来的角等了。结合角平分线和相似，如上图，倒角易得绿色和粉色的角分别相等。于是我们成功证明了I，R是四边形AEXF的一对等角共轭点。所以∠RXE=∠IXF。由因为EX⊥XF，结合调和点列的性质，有EX平分∠RXD，于是∠IXF=∠EXD，所以IX⊥BC，即X=H故DEFH四点共圆。到此为止，此题的证明便结束了。

最后放一张全部辅助线吧，图中H，X重合，这里为了体现同一法牺牲了一点精确度。