mathematica软件的常用操作2——解微分方程、表达式、函数、控制理论相关操作

2023-06-26 19:48 作者:木修于淋 0人读过 | 我要投稿

解微分方程：

解一元微分方程：

DSolve[y''[x] + a y'[x] + b y[x] == u, y[x], x]，其中y''[x] + a y'[x] + b y[x] == u表示待求解的微分方程，y[x]表示因变量，就是待求解的自变量为x的函数，x表示自变量，求出结果如下：

DSolve[y''[x] + 3 y'[x] + 3 y[x] == 0, y[x], x]，输出结果如下：

也可以指定原函数和一阶导数在x=0处的初始值，这样解出的结果就没有c1和c2了，就是由通解变成了具体的一个解：

DSolve[y''[x] + 3 y'[x] + 3 y[x] == 0 && y[0] == 1 && y'[0] == 1, y[x], x]，其中y[0] == 1 && y'[0] == 1表示指定的初始值，输出结果如下：

解微分方程组：

DSolve[{y1'[x] + 2 y1[x] + 2 y2[x] == u1, y2'[x] + 3 y2[x] + 3 y1[x] == u2}, {y1, y2}, x] // FullSimplify，其中{y1'[x] + 2 y1[x] + 2 y2[x] == u1, y2'[x] + 3 y2[x] + 3 y1[x] == u2}表示要求解的微分方程组，当然也可以用前面那种&&表示，这里用了另一种表示方式；{y1, y2}表示要求解的函数，这里没有用y1[x]这种形式表示，当然也可以用，输出结果一样的，输出结果如下：

可以给定初始值，消去上面通式中的c1和c2：

DSolve[{y1'[x] + 2 y1[x] + 2 y2[x] == u1, y2'[x] + 3 y2[x] + 3 y1[x] == u2, y1[0] == 1, y2[0] == 1}, {y1, y2}, x] // FullSimplify，其中y1[0] == 1, y2[0] == 1表示给定的初始值，输出结果如下：

表达式操作：

因为我平时用到最多的表达式操作就是对传递函数进行处理，下面就以一个传递函数为例进行说明：

f1 = (ki + kp s)/(ki + s (kp + r + L s));这个为待处理的传递函数。

Numerator[f1]，得到分子，输出为：ki + kp s。

Denominator[f1]，得到分母，输出为：ki + s (kp + r + L s)。

Collect[Denominator[f1], s]，合并分母的s相关的同类项，输出为：ki + (kp + r) s + L s^2，这样就可以得到s不同次项的系数。

Expand[(a + b) (c + d)]，展开表达式，输出为：a c + b c + a d + b d。

其它使用方法可以去帮助文档查阅。

函数的定义与使用：

一元函数定义：

f11[x_] := x^2 + 1; 其中，:= 是延时赋值，表示调用时再执行赋值，表达式后面加分号就是不显示输出结果，要注意函数中括号里的自变量用x_表示，而不是x。

函数调用：

f11[1]，输出为：2。

f11[a]，输出为1 + a^2。

多元函数定义：

f2[x_, y_] := x^2 + y^2; 这里为函数定义。

f2[1, -1]，函数调用，输出结果为2。

软件中还有些定义好的函数可以直接用，如Sin，Cos函数等，如：

ArcSin[Sqrt[3]/2]，输出为pi/3。

Sin[60 Degree]，其中Degree表示以度为单位，输出为Sqrt[3]/2。

控制理论相关操作：

拉普拉斯变换：

LaplaceTransform[Sin[2 t1], t1, s]，其中Sin[2 t1]表示要变换的时域函数；t1表示时域自变量，不是固定的，和前面函数一致即可；s表示变换后的自变量，输出结果为：2/(4 + s^2)。

LaplaceTransform[E^(-2 t), t, s]，E表示指数函数中的e，约为2.71828，输出结果为1/(2 + s)。

拉普拉斯反变换：

InverseLaplaceTransform[1/(s + 2), s, t]，输出结果为：E^(-2 t)。

InverseLaplaceTransform[1/(s^2 + s + 2), s, t]，输出结果为：

可画出上述曲线，其实就是原传递函数的冲击响应：

Plot[(2 E^(-t/2) Sin[(Sqrt[7] t)/2])/Sqrt[7], {t, 0, 20}, PlotRange -> Full]，其中(2 E^(-t/2) Sin[(Sqrt[7] t)/2])/Sqrt[7]就是上面那个时域函数，PlotRange -> Full表示纵轴全范围展示，输出结果如下：