高斯视角看正五边形

    大家好，近期年终岁末，迎接华诞，比较繁忙，对于数学方面也没做出啥贡献，比较惭愧，今天谈谈正五边形的几何结构吧……

    为啥来研究正五边形呢？因为这个图形比较常见，比如五星红旗的星星可以根据正五边形画出，而且正五边形在中学阶段经常出现，因为它很简单，而且很多问题让你计算72°或者36°的三角函数值，而正五边形每个外角刚好72°，36°是怎么来的呢？就是72°的一半；而且正五边形也是为数不多的可以尺规作出的图形；高斯曾经算出过正十七边形的内角三角函数值；伽罗瓦曾经证明出，正多边形当边数是[2^(2^k)]+1形式的素数时，可以用尺规画出。

    初中老师很多都用方程算出来72°的三角函数值，忽悠同学说我有一个顶角为36°的等腰三角形，看！底角刚好是72°，也是顶角的2倍，多么神奇！

如果腰长是1，设底边长为x，根据相似列方程，即

x/1=(1-x)/x

x^2=1-x

由于x>0，舍去小于0的根，解得

x=(-1+√5)/2

就算出来cos72°= (-1+√5)/4

    也不告诉大家为啥这个等腰三角形那么神奇，其实这个解法没有普遍性，数学家伽罗瓦告诉我们边数n满足[2^(2^k)+1]形式的素数时，能求出三角函数值，意思是说360°/n的三角函数值可求，如果n=17呢？也画等腰三角形？显然不好求了，n=65537呢？更崩溃了，如果小点还行，比5小的满足条件的n呢，是[2^(2^0)]+1=3，360°/3=120°，补角正好是60°，更容易计算，直接是等边三角形了。

    有些初中教师会告诉大家△ABC的面积可以用0.5ab sinC 来算，这里边a与b的夹角为C，证明很简单，过点A作边a的垂线，用底乘高除以2可得，如果你善于思考会发现，当C为钝角时，就用0.5ab sin(180°-C)，为了统一公式，对于任意角C，规定sin C=sin(180°-C) 。那么对于任意角度x，还可以推出关于余弦的公式，有

sin(90°-x)=sin[180° -(90 °-x)]

cos x=sin[90°-(-x)]=cos(-x)，规定钝角之后发现余弦函数是偶函数！

    既然伽罗瓦能证明出来边数n的特点，那这类角度求法必然有共性，我们从高斯视角来计算正五边形的内角吧，当然不找那些等腰三角形了，能算的原因是度数的特性，接下来按圈走。在此之前，我们先看下图：

如图，任意给定的矩形ABCD中DB是对角线，∠CDB=α，∠BDE=β，作∠DBE=β交DE于E，过E作EG⊥DC于G，交AB于F，取BD中点H，连接EH，过H作HP⊥DC于P

这个图比较经典，这里设DE=EB=1，

由于∠DBF=∠BDC=α，∠EBF=∠DBF-β，那么有

cos(α+β)+cos(α-β)=DG+BF=DC

易知，HP∥BC，根据中位线的性质，DC=2DP

∵DH=cosβ，DP=DHcosα

∴ cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα cosβ

| 很经典的公式哦，高斯视角的核心，同样规定任意角度的α、β都成立(高中知识)，根据它，能推出很多结论，如

cos(90°+x)+cos(90°-x)=2cos90°cos x

cos(90°+x)+sin x=0

cos(90°+x)=-sin x

若α+β=90°，那么

0+cos(90°-2β)=2sinβcosβ

sin 2β = 2sinβ cosβ

若β=180°-0.5y，那么

sin(360°-y)

=2sin(0.5y)cos(180°-0.5y)

=2sin(0.5y)cos(90°+90°-0.5y)

=2sin(0.5y)[-sin(90°-0.5y)]

=-2sin(0.5y)cos(0.5y)

=-sin y

由于一圈是360°，显然

sin(360°-y)=sin(-y)=-sin y，按照规定发现正弦函数是奇函数！

    下面根据前面那些公式从高斯视角来算72°的三角函数值：

sin288°=-sin72°

2sin144°cos144°=-sin72°

4cos144°sin72°cos72°=-sin72°

∵sin72°≠0

∴4cos144°cos72°=-1

(根据前面那公式，α=144°，β =72°)

cos72°+cos216°=-0.5

cos72°+cos144°=-0.5

前面算得4cos144°cos72°=-1，根据对称的方程，cos144°与cos72°是方程x^2+0.5x-0.25=0的两个根，解得

x=-0.25±0.25√5

    正根是cos72°，负根是cos144°，关键不是怎么解出来，而是找到方程的对称性质，其中正弦的倍角公式很重要，因为它每次都是2倍关系，这就是为啥n会是[2^(2^k)]+1的形式了，如果你理解其中的对称结构，那么恭喜，你已经站在高斯的肩膀上咯！