《几何原本》命题5.8【夸克欧氏几何】
命题5.8：
不相等的两个量与同一个量的比值中，较大的量比值也较大；一个量与两个不等量的比值中，较小的量比值较大
已知：AB＞C，任意量D
求证：AB：D＞C：D，D：C＞D：AB
解：
在AB上截BE=C
（命题1.3）
当AE＜BE时
作AE的倍量FG＞D，
作GH，使FG：AE=GH：BE
作K，使FG：AE=K：C
（命题1.3）
作L=2D
（命题1.3）
作M=3D
（命题1.3）
以此类推，直到所作线段大于K为止，
设其为N，且N=4D
（命题1.3）
证：
∵N＞K
（已知）
∴K≥M
（已知）
∵FG：AE=GH：BE
（已知）
∴FG：AE=FH：AB
（命题5.1）
∵FG：AE=K：C
（已知）
∴FH：AB=K：C
（公理1.1）
∵GH：BE=K：C，BE=C
（已知）
∴GH=K
（公理1.1）
∵K≥M
（已证）
∴GH≥M
（公理1.1）
∵FG＞D
（已知）
∴FH＞D+M
（公理1.2）
∵M=3D
（已知）
∴M+D=4D
（公理1.2）
∵N=4D
（已知）
∴M+D=N
（公理1.1）
∵FH＞D+M
（已证）
∴FH＞N
（公理1.1）
∵FH：AB=K：C，N＞K，N=4D
（已证）
∴AB：D＞C：D
（定义5.7）
在同一结构中，
同理可证，N＞K，且FH＞N
∵N=4D，FH：AB=K：C
（已知）
∴D：C＞D：AB
（定义5.7）
当AE＞BE时
令GH为BE的倍数，并大于D
（命题1.3）
作FG,GH,K，FG：AE=GH：BE=K：C
同理可证，AB：D＞C：D，D：C＞D：AB
证毕
此命题将在下一命题中被使用
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