恶补基本功-本科代数-第一章，3-5节

如果n和d都是不等于0的整数，那么如果出现一个不等于0的整数q，使得n=dq成立，我们可以说d能整除n：

如果m和n都是不等于0的整数，而m和n都能被d整除，那么d就是n和m的公因(common divisor)

而最大公约数(greatest common divisor)就是两个或多个整数的最大公因，顾名思义。

如果一组整数的最大公约数为1，那么这些整数就是相对素数(relatively prime)

唯一分解：

一个大于2的整数，如果p=nm，而n或m为1，那么p就是素数(prime)。

等同关系与同于(equivalence relation and congruences)

我们说S是一个集，那么S的等同关系，就意味着有个关系，姑且称之为x~y，这关系意对于在S的成员（对）内，满足这情况：

1. 对于S的每个成员，x~x

2. 如果x~y而y~z，那么x~z

3. 如果x~y，那么y~x

我们在S有一个等同关系下，x作为S的一个成员，作为一个等同与x的集，根据上面的说明，意味着的每一个成员都等同于其他成员。

说起来麻烦，就用例子。

让n是正整数，x和y是整数，我们先说x同于(y mod n)，存在整数m，使得x-y=mn。

也就是说在n生成的理想中，存在着x-y。如果n不等于0，就等于x-y可以被n整除，所以我们可以写成这样：

要证实其等同关系，我们就要证实这几点：

1. 

2. 如果和，那么

3. 如果，那么

同于性质也可以进一步延申：

1. 如果，而z是整数，那么

2. 如果，，那么和

这个延申可以如此证明：

x=y+mn，zx=yz+mnz，mnz可以缩写成wn，w=mz

这样的话xz=yz+wn(mod n)，延申1成立

延申2第一部分：

x=y+mn, x'=y'+m'n，

xx'=(y+mn)(y'+m'n)

xx'=yy'+mny'+ym'n+mm'nn。

让w=my'+ym'+mm'n为w，就形成xx'=yy'+wn，延申2成立

延申2的第二部分：

x=y+mn, x'=y'+m'n,

x+x'=y+y'+mn+m'n

让w=m+m'，可以形成x+x'=y+y'+wn，延申2第二部分成立。

第一章完