【种花家务·物理】1-09-01物体在共点力作用下的平衡条件『数理化自学丛书6677版』

2023-05-12 11:08 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第九章物体的平衡

【山话|| 本篇专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；而老教材中的重量单位公斤，如今是用力单位牛顿表示】

§9-1物体在共点力作用下的平衡条件

【01】一个物体可以同时受到几个外力的作用。如果这些外力能使物体获得加速度，就叫做不平衡的外力；如果不能使物体获得加速度，就叫做平衡的外力。在平衡外力作用下的物体，称为处于平衡状态。

【02】处于平衡状态的物体保持原有的运动状态不变，如果它原来是静止的，就继续静止下去，如果它原来是运动的，就作匀速直线运动或匀速转动。在实际生活中，我们经常遇到的处于平衡状态的物体大多是静止的。因此，在本章的讨论中，我们总以静止的物体作为研究的对象。但是，所得到的一切结论，对于作匀速直线运动和作匀速转动的物体同样适用。

【03】在日常生活中，随时随地都要用到有关物体平衡的知识。例如，使用梯子进行空中作业，就必需掌握有关物体平衡的知识，才能保证安全。如果梯子放得太陡了一些，当人在梯子上进行工作时，就有翻倒的危险（指梯子向外翻）；如果梯子放得太平了一些，当人沿梯子向上爬时，就有滑倒的危险（指梯脚向外滑)。究竟梯子应有多大的倾斜角度才能保证安全呢？那就需要根据具体情况，应用有关物体平衡的知识来进行分析，此外，建筑一所大楼、建造一座桥梁、安装一部机器、拉一盏电灯、插一根竹竿晒衣服，都要应用有关物体平衡的知识来进行分析，才能知其所以然。

【山语|| 短短一段话，竟令我有醍醐灌顶之感。我学工程力学第一篇静力学时，经常有解梯子受力的题，但我竟然一直不知道这个题的意义，只是为了解题而解题……】

【04】当一个物体同时受到几个外力的作用时，如果这些外力的作用线，或它们的延长线交于一点，如图9·1所示，我们就称这些力为共点力。

【05】牛顿第二运动定律已经指出，当物体同时受到几个外力的作用时，如果外力的合力不等于零，它总要获得加速度，也就是说它不可能处于平衡状态。反之，如果物体在几个外力的作用下处于平衡状态（即没有加速度），那么这些外力的合力就必须为零。所以我们说：

【06】物体在共点力作用下的平衡条件是合力等于零。

【07】合力等于零是共点力平衡的唯一条件，也就是说：只要合力等于零，共点力就一定平衡；如果合力不等于零，共点力就一定不平衡。反过来说：如果物体在共点力的作用下处于平衡状态，合力就一定等于零；如果物体在共点力的作用下处于不平衡状态，合力就一定不等于零。

【08】合力等于零是共点力平衡的一般原则性的条件，至于如何具体应用这一原则解决实际问题，还要看具体情况来决定。现在我们只讨论以下的两种特殊情况：

1、两力平衡

【09】两力平衡的事例很多。例如：电线吊着的电灯、衣钩上挂着的衣服、用一只脚立在地面上的人等等，都是两力平衡的实例。从图9·2中可以看出，电灯同时受到重力 P 和电线拉力 T 的作用，衣服同时受到重力 P 和衣钩托力 F 的作用，立着的人同时受到重力 P 和地面托力 N 的作用。

【10】事实证明，在平衡状态下，作用在这些物体上的两个力，不但必须交于一点，而且还必须位于方向相反、大小相等的同一直线上。

【11】图上所表示的各个物体的位置叫做平衡位置。如果把电灯从它的平衡位置拨动一下，T 和 P 虽然还交于一点，可是不再位于同一直线上，因此就不再处于平衡状态。如果把衣服从它的平衡位置拨动一下，F 和 P 就不再位于同一直线上，因此衣服就要转动。同样，如果立着的人把身体向左或向右倾斜一下，N 和 P 也就不再位于同一直线上，因此人要跌倒，作用在一个物体上的两个外力虽然位于同一直线上，如果它们的方向不相反、大小不相等，那么它们的合力就不可能等于零，也就不可能满足共点力平衡的条件，所以我们说：

【12】两力平衡的条件是力的大小相等、方向相反并且位于同一直线上。

2、三个共点力平衡

【13】图9·3表示三个共点力平衡的实际事例。左面一个图表示用细绳悬挂一只皮球，它同时受到重力 P、绳子的拉力 T 和墙的推力 N 的作用，它们相交于O点。中间一个图表示用细绳拉电灯，它同时受到重力 P、电线的拉力 T₁ 和绳子的拉力 T₂ 的作用，它们相交于A点。右面一个图表示倚在墙上的梯子，它同时受到重力 P、墙的推力 N 和地面的力 F 的作用，它们相交于A点。

【14】为了满足共点力平衡条件合力等于零，三个力中任何两个力的合力（参见§6-4力的合成）必须与第三个力平衡。也就是说，三个力中任何两个力的合力必须与第三个力的大小相等、方向相反并且位于同一直线上，如图9·4所示。

【15】由于两个共点力的作用线决定一个平面（两根相交的直线决定一个平面），并且它们的合力也在这个平面上（平行四边形的对角线和两边同在一个平面上），又由于这个合力与第三个力位于同一直线上，所以这三个共点力必须在同一平面上。所以我们说：

【16】三个共点力平衡的条件是三个力必须在同一平面上，其中任何两个力的合力与第三个力的大小相等、方向相反并且位于同一直线上。

【17】必须指出：合力等于零已经是共点力平衡的唯一条件，上面所讲的一些具体条件，并不是附加出来的额外条件，而是在满足合力等于零时必然存在的一些现象。这就是说：在两个力的合力等于零时，它们就必然是大小相等、方向相反并且位于同一直线上，否则它们的合力就决不等于零；在三个共点力的合力等于零时，它们必然是在同一平面上，其中任何两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反并且位于同一直线上，否则它们的合力就决不等于零。

例1.在绕过两个滑轮的绳子的两端悬挂两个物体，一个是15公斤，一个是20公斤，现在要在两滑轮之间的绳子上悬挂一个物体，而使所有的物体处于平衡状态和角α等于90°，如图9·5所示。试求物体的重量应该是多少？

【解】如图9·6所示，我们把O点作为受力点，F₁、F₂ 和F₃ 分别表示三段绳子作用在O点的拉力。在平衡状态下，F₁=20公斤，F₂=15公斤，F₃=物体的重量，并且它们的合力等于零。所以，F₁ 和 F₂ 的合力 F 必须与F₃ 的大小相等、方向相反（按理，图中OF₃ 的线段应等于OF）。因此，求出F₁ 与 F₂ 的合力F，就可以知道F₃的大小了。

现在，F₂ = 20公斤，F₂ = 15公斤，α=90° 。由于OF₂F是一个直角三角形，所以 $F%3D%5Csqrt%7BF_1%5E2%2BF_2%5E2%7D%20%3D%5Csqrt%7B20%5E2%2B15%5E2%7D%20%3D25%E5%85%AC%E6%96%A4$ ，

即物体的重量F₃是25公斤。

例2.一个人体重45公斤，用双手拉着水平的单杠把自己吊起来（图9·7）。在图上的三种情形下，两臂分别成平行、90°和120° 。求在这三种情况下两臂所受的力各是多少？两臂用力是接近时大还是分开时大？什么时候最小？

【解】

(1)两臂平行时。设每一臂中所用的力为 T，则两臂所用的力为 2T（竖直向上），和竖直向下的重力45公斤方向相反。人不动时，这两个力的合力等于零，所以 2T－45 = 0， T = 22.5 公斤。

(2)两臂成90°角时（图9·8）。设每一臂所用的力为 T，人不动时，三个力 T、T 和 P 保持平衡，因而 T 和 T 的合力 F 的大小等于 P(45公斤)，方向竖直向上。

由于∠TOT=90°，三角形OTF是等腰直角三角形，因而∠FOT=45° 。

这样，根据已学到的三角公式，我们就得到 $T%3DFcos45%C2%B0%3D45%C3%97%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%E2%89%8831.8%E5%85%AC%E6%96%A4$ 。

(3)两臂成120°角时（图9·9）。设每一臂用力 T 。由于三角形OTF是等边三角形，所以T=F=P=45公斤。

从上面求得的答案中可以看到，两臂平行时所用的力最小，并且随着两臂之间的夹角的增大，两臂所用的力也随着而增大。

(4)本题也可以这样来做：假定两臂作任意角（图9·10）。由于两臂所用的力都是 T ，因此，

∠FOT = α/2，OD=1/2OF=1/2P，

因为∠ODT为90°，∴△ODT是一直角三角形，这样，我们就立刻得到： $%5Cfrac%7BOD%7D%7BOT%7D%20%3Dcos%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B2%7D%20$ ，即 $%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BP%7D%7B2%7D%20%7D%7BT%7D%20%3Dcos%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B2%7D%20$ ， $%E2%88%B4T%3D%5Cfrac%7BP%7D%7B2cos%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B2%7D%20%7D%20$ 。

(ⅰ)当 α=0，即两臂平行时，cosα/2=1， $%E2%88%B4T%3D%5Cfrac%7BP%7D%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B45%7D%7B2%7D%20%3D22.5%E5%85%AC%E6%96%A4$ 。

(ⅱ)当α=90°， $cos%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B2%7D%20%3Dcos45%C2%B0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Csqrt%7B2%7D%20$ ， $%E2%88%B4T%3D%5Cfrac%7BP%7D%7B2%C3%97%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B45%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20%E2%89%8831.8%E5%85%AC%E6%96%A4$ 。

(ⅲ)当α=120°， $cos%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B2%7D%20%3Dcos60%C2%B0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%E2%88%B4T%3D%5Cfrac%7BP%7D%7B2%C3%97%5Cfrac%7B1%20%7D%7B2%7D%20%7D%20%3DP%3D45%E5%85%AC%E6%96%A4$ 。（按理，图9·8、9·9、9·10中OP的线段都应等于OF）