《几何原本》命题3.16【夸克欧氏几何】
命题3.16：
如果过圆的直径的端点作该直径的垂线，那么该直线落在圆外，且该直线与圆之间不能再插入另一条直线，且半圆的弓形角大于任何锐角，其余角小于任何锐角
已知：圆ABC，圆心点D，直径AB
求证：过点A作AB的垂线落在圆外
解：
假如过点A作AB的垂线不落在圆外，
设过点A作AB的垂线落在圆内
过点A作AC⊥AB
（命题1.10）
连接CD
（公设1.1）
证：
∵AC⊥AB
（已知）
∴∟CAD是直角
（定义1.10）
∵点D为圆ABC的圆心
（已知）
∴EM=EF，EN=EG
（定义1.15）
∴∠ACD=∟CAD
（命题1.5）
∴∠ACD，∟CAD都是直角，这是不可能的
（命题1.17）
∴AC不落在圆内
同理可证，AC不落在圆上
∴AC落在圆外
求证：AC与圆ABC之间不能再插入另一条直线
解：
假如AC与圆ABC之间能再插入另一条直线
设直线AF在AC与圆ABC之间
过点D作DG⊥AF，与圆ABC交点记为点H
（命题1.11）
证：
∵AC⊥AB
（已知）
∴∟BAE是直角
（定义1.10）
∵DG⊥AF
（已知）
∴∟AHD是直角
（定义1.10）
∴∟BAE=∟AHD
（公设1.4）
∵∟BAE＞∠BAF
（公理1.5）
∴∟AHD＞∠BAF
（公理1.1）
∴AD＞DG
（命题1.19）
∵点D为圆ABC的圆心
（已知）
∴AD=DH
（定义1.15）
∵DH＜DG
（公理1.5）
∴AD＜DG
（公理1.1）
∴大的小于小的，这是不可能的
∴AC与圆ABC之间不能再插入另一条直线
∴半圆的弓形角大于任何锐角，其余角小于任何锐角
证毕
此命题的推论将在下一命题中被使用
推论：过圆的直径的端点所作的垂线切于此圆
