S5G4 球上的大圆路径
从北京飞到纽约可不是要飞越太平洋，而是要经过北极圈。这可不是因为怕飞机掉到太平洋中，而是因为这是走球面上两点最近的的大圆路径。对于这类立体几何问题，用 GGB 呈现就直观很多。更有趣的是自己动手来做看看时，更可体会到更多数学原理。
你将学会
球面极坐标的观念
站在巨人肩膀上，学会改编优良作品
了解球面上的地图是由很多折线段构成
利用序列来绘制经纬线
利用叉积来取得球面上的大圆
将球面上xyz坐标转换为极坐标
学习指引
二、地球上的经纬度如何解读
在探究球面上大圆的距离前，先来认识所谓的经纬度的到底是指那些角度？
问：如何确定 E 116°、 N 40° 的位置？
答：可从赤道与本初子午线的交会点 A，沿着赤道往东 116°，再往北移动 40° ，所到的位置就是 E 116°、 N 40°。
三、参考他人作品
在 GGB 的最佳学习资料就是 GGB 官网，上面有很多优秀作品。我第一次看到 GGB 上刻画着世界地图时，也觉得很神奇，这到底如何做到的。而要解决这个困惑，其实就是打开他人作品观看源代码。接着在一步步拆解反思他人的指令到底是什么意思，就可学到很多技巧。
问：如何画出地球上的地图？
答：这些地图，主要是有很多折线来完成。而这些折线的档案主要取至自于 Rafael Losada Liste 的作品。 https://ggb123.cn/m/uT3czZnE
他在这系列的第二、三个作品都很精美，鼓励大家去研究。本文只先利用他第一个地图的基础来发展练习。
问：如何解读这些折线？
答：这个地图共有 206 个折线档案，我们先来看其中一小段折线。以台湾为例，这段折线共有 9 个点。其中开头与结尾都是 (5;2.125;0.426) ，所以连成一个封闭曲线。
Taiwan = 折线((5; 2.125; 0.426), (5; 2.115; 0.398), (5; 2.107; 0.383), (5; 2.098; 0.398), (5; 2.096; 0.411), (5; 2.106; 0.428), (5; 2.121; 0.442), (5; 2.128; 0.436), (5; 2.125; 0.426))
问：这折线的每个点是如何解读？
答：这是空间中的极坐标表示，要注意，每个坐标内用 ；来隔开。
问：如何找到台湾的折线的呢？
答：首先，台湾的最北端为富贵角大约位在 东经 121.5 ， 北纬 25.25 。因此，将 121/180*3.1416 得到 2.11 , 北纬 25.25/180*3.1416=0.44 。接着在找寻 (5; 2.121 后，再去检查 第三个位置大约 0.44。可找到 (5; 2.121; 0.442) 。
四、如何绘制经纬线
目的：利用Sequence，可以完成这些经纬线。
问：如何绘制赤道？
答：先利用 Circle 来绘制空间中的大圆，但空间中的圆要给一个垂直与圆所在平面的向量。因此先定 vy 来绘制赤道 Lat0。
vz = 向量((0,0,1))
R = 5
Lat0 = 圆周(O,R,vz)
问：如何绘制经线？
答：先绘制个子午线，再将这个大圆绕z轴旋转。
vy = 向量((0,1,0))
Long0 = 圆周(O,R,vy)
Longs = 序列(旋转(Long0, pi/6*k, 直线(O,vz)),k,0,5)
问：如何绘制纬线？
答：每条纬线所对应圆的圆心与半径都不相同。因此先绘制球心 Os，接着再设定半径 Rs，再利用这些圆心与半径画纬线 Lats。
Os = 序列((0,0, R*sin(pi/6 *k)),k,-2,2)
Rs = 序列(R*cos(pi/6*k),k,-2,2)
Lats = 序列(圆周(Os(k), Rs(k), 直线(O,vz)), k, 1,5)
五、如何绘制大圆
目的：大圆为通过圆心 O点，要绘制这个圆的关键在于取得O,A,B 的法向量。
问：如何取得大圆的圆弧？
答：先利用 [叉积] 取得过 O,A,B 平面的法向量，再利用此向量来绘制过 A, B的大圆。接着利用 [圆弧] 指令，就可画过大圆的圆弧。
Earth = 球面(O,R)
A = 描点(Earth)
B = 描点(Earth)
nAB = 叉积(向量(O,A),向量(O,B))
cOAB = 圆周(O,A,B)
arcOAB = 圆弧(O,A,B)
六、如何绘制过地图上中点的小圆
目的：这题的关键在于取得 A，B 两点的经纬度坐标。
问：如何取得经纬度坐标？
答：利用反三角函数。纬度为 asin(z/R), 经度为 atan(y/x)
LongA = atand(y(A)/x(A))
LatA = asind(z(A)/R)
LongB = atand(y(B)/x(B))
LatB = asind(z(B)/R)
LongM = (LongA+LongB)/2
LatM = (LatA+LatB)/2
M = (R;LongM;LatM)
问：为何上面取得的经纬度来计算中点 M 时，不一定会出现在两点中间？
答：因为反三角函数的值域的限制，这时通过 [如果] 来将角度调整为 -180 到 180。这时获得正确的位置后，就可用 [三点圆弧] 来绘制圆弧。
LongAp = 如果(x(A) > 0, atand(y(A) / x(A)), 如果(y(A) > 0, 180° + atand(y(A) / x(A)), -(180°) + atand(y(A) / x(A))))
LongBp = 如果(x(B) > 0, atand(y(B) / x(B)), 如果(y(B) > 0, 180° + atand(y(B) / x(B)), -(180°) + atand(y(B) / x(B))))
LongMp = 如果(abs(LongAp - LongBp) < π, (LongAp + LongBp) / 2, (LongAp + LongBp) / 2 + 180°)
Mp = (R;LongMp;LatM)cArcAMB =三点圆弧(A,Mp,B)
小结
基于上面结果，大家可尝试增加些复选框，并试着利用地球半径 6371 来模拟地球上两点的大圆距离。
相关链接
【GGB】https://ggb123.cn/classic/uvvgrqjv
【Bili】https://www.bilibili.com/video/bv1pk4y167d6
