数学派每日一题-3.21

题目一如下图：

解析：

本题考查的是复数的基础知识。首先，由两侧同时乘以（这一操作与两侧同时除以是等价的），可得，即。

两侧取共轭，我们得到了，因此即为所求。

换一个思路，由共轭复数的几何含义（复平面上关于实轴对称的两个复数），一个复数与其共轭复数的和应当是一个实数（虚部相互抵消），且该实数应当是该复数实部的两倍（实部相等相加），所以。

题目二如下图：

解析：

首先，抛物线方程给定，我们可以先写出焦点F的坐标。

然后，设P点坐标为，可以写出此时切线的方程，即。由与平行，可设的方程为，与抛物线方程联立，就得到了两点横坐标所满足的方程，化简后即。为了保证该直线与抛物线有两个不同的交点，应当保证，即。从几何含义上讲，应当在上方，计算判别式得到的结果与该结论一致。

接下来，我们来处理的条件。几何上的垂直转化为坐标的计算，考虑向量的点乘是一种比较好的办法（当然，两斜率之积为-1也可以，不过需要单独考虑水平-竖直的情形）。设两点的坐标分别为，则

由垂直条件，即得

由于上面我们已经得到了满足的二次方程，所以由韦达定理我们可以得知

于是，我们可以继续进行计算

而前面我们已经得出了的结论，因此只能，即。换言之，我们将垂直条件转化为了之间的一个等式关系。

接下来，我们计算题目中的两个距离。由点与直线之间的距离公式，我们有

二者之比是一个常数，因此本题答案为3。

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