高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！

看前须知：

1.本套笔记永不断更，本人可以保证，会根据自己的进度和空闲时间间期更新（偶尔会有1天十几节爆更）

2.本套笔记包含所有课程，如果作者少了某节课的笔记或者某节课的部分笔记，不要急，作者肯定会在闲暇时间把它更新完的

3.本套笔不可能哪里都没有错误，发现错误了请第一时间联系作者并说清哪章哪节哪里的笔记错了，作者会第一时间进行修正

4.本套笔记非常欢迎大佬来私信作者进行某章某节哪里的笔记补充，作者会标明来处及第一时间补充

5.如因为对笔记不满而对作者进行人身攻击，一律举报并加入黑名单，永久禁止该账号查看本笔记

6.第六点是一哥在教辅指导视频里引用过的一句话，作者非常喜欢

“高考，无非就是很多人同时做同一份试卷，然后决定去哪一座城市。最终发现，错的每一道题都是为了遇见对的人，而对的每一道题，是为了遇见更好的自己。”

加油

• 集合：

集合的基本定义与表示方法

研究对象称为元素，元素构成的整体称为集合

集合的三大特性：

集合一般大写，元素一般小写

R=实数集合；Q=有理数集合；Z=整数集合； N+或N*=正整数集合；N=自然数集合

集合的三种表示方法：

1.例举法 2.描述法 3.区间法

区间法中可取到的为闭区间“［］”，取不到的为开区间“（）”

集合之间的关系

空集是任何集合的子集

一个小技巧：U是并集就是有（U）病（并）

谐音小技巧：“上交”指向上方是交集符号

总结：交集，就是指两个集合之间共同的地方；并集，是指两个集合组合在一起总共的集合

这里的并集符号是∪，但是全集符号是字母U两个不一样，补集是CUA

德摩根公式：Cu(A∪B）=CuA∩CuB。Cu(A∩B)=CuA∪CuB

简记：并之补等于补之交，交之补等于补之并（中上等建议记住）

card=基数即集合中的元素个数

若一个集合中有n个元素，则其有2的n次方个子集

非空子集是除了空集以外的子集

集合习题（从一到无穷大系列）

注：结合图像，一定要有结合图像的意识！！！

集合的互异性相关问题

1.本质：集合里面的元素互不相同。

2.例题：

我们做这类题，我们只需要注意同一个集合中集合中的元素不同就可以了。上面这道题我们运用的是分类讨论的思想，讨论a²-a+1与前面几个元素是否相同（但是有个大前提就是a的取值）

（补充：上题中p≠±1）这道题考察集合相等和互异性。集合相等顾名思义就是集合中所以元素一样。所以我们这道题还是要分类讨论，于是们可以得到两个方程，但是请注意互异性！

注：做题前要先验算互异性再做题！！！

集合相等的证明方法（中档）

1.证明方法：

2.如果元素较多该如何证明集合相等——通项相等。

【例题】

总结：通项相等，我们一定要把各个集合用表达式表示出来，表示出来之后尽量往一个形式里面靠，这样我们才能找到它们之间的关系。例如上题，我们先是通分使形式相近，再转化为同样的表达方式，就可以比较两个集合的范围大小了（实在不行举几个例子探究规律也行）

3.如果不好用元素相等怎么办——定义法

【例题】 （较 难，中低等生建议多看几遍）

注：黑圈画起来的应为k而不是2k

例如上题，虽然已经有表达式，但是用通项法并不好做。那么我们就用定义法。第一步相信大家都看懂了，第二步我们要找到对应的m,n使之成立，我们就令m,n是k的若干倍，可以直接消掉k。因为7,18互质就一定能找到对应的系数。我们从小的数开始找，找到了这道题就解决了（一哥画圈的地方步骤可以省略）

子集相关问题（基础）

1.解题思路：

2.例题：

【例题1】

这道题元素有限，所以我们可以采用列举法，但是我们的分类依据一定要严格！这道题我们是根据集合元素个数分了三类，一定要注意⊆ 和⫋的区别（前者元素数目可以相等，后者元素数目不可以相等）。

【例题2】

这一类题目告诉了集合的区间，所以我们采用区间法，而画数轴是最直观的。但是请注意空集是任何集合的子集，所以我们一定要讨论空集！！！最后取值范围一定要写成集合形式

【例题3】

这一类题属于新定义题。解决这道题目的关键在于理解题目，而这道题我们完全可以理解为A⊆ S而且里面的元素（个数为4）一定要相邻。之后我们再根据集合中的最小元素进行讨论

切记：分类讨论一定要严格

集合的交并补混合运算（基础重点）

1.解题思路：

解决此类问题有两种思路：

①区间法，题目中往往会告诉集合元素的区间，我们可以画数轴来解决问题。

②Venn图法，这种方法适用于两种情况：一种是对集合中元素尚不清楚；一种是集合中元素为若干个分散元素。

2.例题

⑴问直接告诉a，代进去画个数轴找就行了。但是一定要注意数轴中的实心空心，避免漏解。⑵问就有了未知数了，因为a的取值不确定，所以我们要分类讨论a的取值

扩：摩根定律（简）：Cu（AUB）＝CuA交CuB／Cu（A交B）＝CuAUCuB（拔高生建议记住）

这道题中集合是相当模糊的，我们可以用Venn图大致表示他们之间的关系，画图一目了然。前提是要对交并补的概念足够熟悉，避免画错图

集合易错点总结（中档）

1.表达方式

这里特别注意，一个集合也可以是多个集合组成的集合的集合，简单来说就是集合里面的元素换成了集合而已， 本质上还是一样的。

2.集合中的代表元素

集合中的代表元素不同，那么构成的集合也就不同。上面的例子就能很好地说明这一点，他们的代表元素不同，集合的区间也不相同。集合C是一个点集。

3.描述法表示集合

我们就只需要理解一点：左边的代表元素构成了集合，右边是对它的描述。

4.空集

这一类型的题目很容易漏解，记住：空集是任何集合的子集。集合不确定时一定要讨论空集！

5.证明集合之间的关系

①列举法

②定义法：证明他们互相为对方的子集。（用于证明集合相等。如果不相等，一定要把形式往一个方面靠，找出他们的范围大小）

这道题我们用定义法做。我们就看A中的任意一个元素B中都有，B中的任意一个元素A中都有。由于m,n∈Z，所以7m+18n肯定为整数，k一定取得到，所以A中的任意一个元素B中都有；第二种如果我们还是用第一种的方法的话就会有争议：2k是整数了，可是7m+18n中的m,n一定是整数吗？这正是我们要去证明的（详细证明过程请看视频P12），我们发现：当m=-5k,n=2k时成立，因为k为整数，所以就保证了m,n为整数，因此B中的任意一个元素A中都有。

6.高考真题

画数轴一目了然，选B。

这里一哥用的列举法，我在这里证明一下。我们把t=4n+1改写一下，变成2（2n）+1。你发现没有，S当中2后面是n，n∈Z；而T当中2后面是2n,n∈Z。一个是整数，另一个是整数但是只能是偶数，所以T肯定包含于S。选C

集合的新定义问题考点解析（拔高）

1.思路概述（见招拆招）：

2.例题：

解决这道题的关键是读懂题目，题目怎么要求我们就这么做，见招拆招。基于这道题集合元素较少，我们画Venn图出来一目了然，进而找到它的差集，子集个数自然也就出来了。

这道题也是一样。给了两个集合我们可以把他们的区间表示出来，然后用数轴表示，再根据定义就可以了。（一定要注意数轴中的实心空心！）

这道题的难点是不漏解。而应对这种类型的题目，我们一定要有严格的分类依据！这道题我们就以元素的个数分类，最后总和一下个数即可。另外我们可以直接举个例子，有助于理解题目

集合拓展训练（拔高）

1.例题讲解

此类题考察交并关系。第一问我们一定要讨论集合B，因为集合B的区间含有未知数，很有可能是空集，而空集是任何集合的子集，是符合题意的。第二问我们就需要画数轴来解决问题，注意：一定要看清楚是空心还是实心！最后请写作集合形式

这道题就有意思了。第一问我们怎么也无法找到x+y。我们换个思路，题目给的是相减，我们给它转化一下，y咱们给他变成-y。再相减不就完了吗？而-y我们又可以通过0-y得到，当x=y时，0∈M。所以我们理一下思路，再正过来写就OK了。而这就是逆推顺正的思想。

第二问我们首先是想证明x(x+1)∈M，可是X²很难证明其属于M。所以，我们换一个思路。把原式再转化一下：

我们就只需要证明他们分母属于M就可以了。而题目又给出了1∈M，根据定义得解。

【集合挑战150】全面提升（拔高）

1.考法归纳：

2.例题讲解

遇到这类复杂一点的Venn图，我们不要怕，一步一步来，把每一个选项的图画出来，一个一个排除即可。但是前提是对交并补概念足够熟悉！（不清楚的请看前面笔记）

我们考集合不一定只考数集，我们还可以考点集。而这道题略微有所不同，集合M的形式看上去有点诡异，但是又很熟悉。∆x/∆y（x₂-x₁/y₂-y₁）这种形式我们可以联想到斜率（这道题只是将另一个x,y换成了数字而已）。而斜率我们又可以想到tan，证明斜率也很简单——待定系数法。因此我们可以看成两个点构成的直线，再把图画出来，根据交

并补定义，就可以解出来了。（请注意集合M中点(2,3)取不到）

(๑•́ωก̀๑) 揉眼睛 

这类求子集的题目，还是一样，一定要有严格的分类依据！我们讨论集合B当中的元素（3种情况，一定有a,c当中一个），再讨论有无其他元素即可得出子集个数。

这道题也一样，我们对集合Q进行分类。但是根据奇偶性，我们发现最后两种情况结果都为奇数，意思就是说其中一定会有重复的部分（偶数除外，因为偶数在第一种情况之中），而他们都是15的倍数（举例可以得到），x最大只能取到99，重复的部分又得是15的倍数，所以重复的部分最大为285，根据小学所学的项数算法可以算出重复的个数，在总的减去即可。

这一类题的关键在于画图，因为题目中集合的区间是已知的。主要看第二问，因为交集已知，要想范围之中有个3，集合B中的一元二次不等式中一个根必须为3，另一个根的范围也就可以知道了。但是我们要求的是a的范围，这时候我们就要想到韦达定理（其专门打通根与根之间的关系），于是范围就可以求出来了。BUT，我们有个大前提别忘了：集合B不能为空集（这道题对范围没有影响）。

第一小问没啥好说的，根据定义即可得解。

第二小问A-B集合中的每一个元素都属于{0,1}，所以A-B∈Sn。接下来我们将d(A-C,B-C)表示出来，这道题就基本上做完了。既然要使d(A-C,B-C)=d(A,B)，就证明他们中的每一个元素相等不就更简单了吗？但是证明的过程中，我们发现这个Ci很烦人，我们就把它讨论一下，因为它就只有两个值——0,1。最后发现确实是相等的，这道题也就证完了

(o-ωｑ)).oO 困

• 新教材提前内容：

充分条件和必要条件

1.重点知识梳理与补充

一、命题

1. 命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2. 命题的形式：数学中命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”，通常我们把命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

举个很简单的例子：若p:我是重庆人，q:我是中国人。那么我是重庆人（p）能充分说明我是中国人（q），我是中国人（q）才可能是重庆人（p），所以我是中国人这个条件很有必要。

2.例题讲解

（第三题包含未学内容，解析如下）

方法汇总：

1.找结论和条件

2.看二者之间的关系

3.所有二次不等式首选画图

全称量词和存在量词

1.知识梳理

从字面上我们就可以很好理解。全称量词，单一个“全”字我们知道是所有/任意；而存在量词，单一个词“存在”说明不是全部，而是存在一个/至少有一个。其中一哥也拓展了：在(x)前面加个字母代表题目中出现了的有关x的结论

2.例题讲解

这道题很简单，把对应的符号翻译成中文，再通过寻找有无反例判断真假命题即可。

我们判断全称量词命题和存在量词命题其实就是看他表示的对象是全体还是不是全体（单个），然后判断真假命题即可。  

命题的否定

1.知识梳理

注意：命题变否定命题条件结论都得否定！

2.举例讲解

本质：对命题的所有部分进行否定。全称、存在互相转化，条件结论都变否定。但是注意有些的否定，例如奇数的否定 是 不是奇数，不是 偶数！（因为还有其他数的存在，例如分数等）

逻辑用语习题课

1.知识回顾

2.例题讲解

这道题我们先把q和p表示出来，那么非p自然也就出来了（就是p的反面）。再看p,q互相推理即可。

关于不等式的充分必要条件题目，也是一样的，p和q互相推理。这道题中第二种情况，我们无法确定p,q的大小（是否为正或者负），举例后发现p,q为负时也成立了。证明必要性不成立。选A。

判断真假命题，找是否有反例。

这道题还是一样，跟着题目做就可以了，但是我们一定要对概念熟悉。

• 函数：

函数的基本概念

函数只能是数集之间的关系；满足函数相等必须对应关系与定义域都相等

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值（即f（x））叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域，

函数的三大要素（定义域、解析式）（从一到无穷大系列）

定义域具体函数考法：

定义域抽象函数考法：

括号内整体的范围永远不会变

值域上

1.一次分式解法：所有一次分式求值域的问题通法都是将分母整体换元（参数分离）

分式巧算：x/a/b=x/ab

2.二次分式解法：整理成关于x的一元二次方程，通过Δ来做（切记分类）

速算技巧：

(+﹏+)~狂晕

3.同次根号（根号里的未知数与根号外的未知数次数一样）

解法：整体换元法（将整个根号换做一个整体），如是二次函数配方即可

值域下（只适合高二高三）（中档）

单调性与最值基本概念

单调递增：随着x的增大y也增大

单调递减：随着x的增大y越来越小

例题：

函数的奇偶性

偶函数（关于y轴对称的函数）：对于定义域I内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，称为f(x)的偶函数

奇函数（关于原点中心对称的函数）： 对于定义域I内的任意一个x，当自变量取值互为相反数时，函数也互为相反数，称f(x)为奇函数

画图（常见的奇函数）：

狄利克雷函数（dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数：

注：定义域包含0且是奇函数，则一定过原点

对勾（双勾）函数的性质

对勾（双勾）函数：y=x+k/x（k）

变式：y=ax+b/x（a、b＞0）=a（x+b/a/x）

对勾函数须知道的点：

1. x正方向无限趋近于0的时候，y趋近于正无穷，然后逐渐单调递减，减到最低点（√k，2√k），然后开始单调递增，逐渐增到正无穷
2. 定义域：（负无穷到0）（0，正无穷）
3. （0，√k］或［√k，0）都单调递减

例题：

首先把函数式往对勾函数形式上凑（分离常数），然后根据“左加右减，上加下减”解答

此类题也可用换元法解答（注意换回来）

函数的对称性与周期性条件翻译

对称性（当两个数之间相加等于常数时，不管符号是什么，首要考虑对称性）：

如果括号内相加为常数（x被约掉），那么函数一定关于一条直线或点对称

关于直线对称：

如果俩点x1、x2关于直线a点对称，则x1、x2函数值相等

关于点对称：

如果俩点x1、x2关于（a，0）点对称，则x1、x2的函数值互为相反数

周期性（当两个数之间只差一个常数时，不管符号是什么，首要考虑周期性）：

若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期（最小正数T叫做这个函数的最小正周期）

考点：

①（负负得正去掉负号）：将括号里的x变为x+T，则f(x)变为f(x+T)；原来-f(x+T)变为f(x+2T)

②（导数再导数去掉分号）：方法同①

③：法①+法②同用即可

④：将括号里的x变为x+a，则f(x-a)变为f(x)；原来f(x+b)变为f(x+a+b)

如果函数关于a、b俩个点中心对称，则此函数为周期函数，周期T=2（b-a）

如果函数关于一条直线a和一个点b对称，则此函数为周期函数，周期T=4（b-a）

如果函数关于俩条直线a、b对称，则此函数为周期函数，周期T=2（b-a）

例题翻译：

函数解析式解法大全（拔高）

换元法（重点）：

当括号内不是单纯x，而题目要求f(x)时，可将括号内的整体换元（一定要加上定义域）

待定系数法：

已知一个函数（知道是一次或二次、幂函数、指数函数），但题目要求具体解析式

方程组法：

题目已知了f(x)的关系

特殊值法：

题目给了多个未知数，我们需要自己赋值，得到方程的特殊性质

函数值域的999种求法（拔高）

图像法：

延伸：“1”的代换

若xy为正实数且x+y=a（a为任何数）求x、y在分母时函数的值域

换元法：

判别法：

分母是二次函数，分子是一次或二次函数（一般Δ＜0）

数形结合法：

往往涉及俩个根号内的相加，如俩点坐标距离公式（常见）

单调性：

主要为复合函数与求导

函数的单调性解法大全（中档）

1.图像法：

当函数可以画出图像时使用

2.定义法：

简单型

复杂型：

3.复合函数：

4.导数法：

( ˃᷄˶˶̫˶˂᷅ )这都是啥

函数奇偶性完全突破（中档）

考点分类：

判断奇偶性：

性质：

奇偶性判断图像（图像）:

奇偶性判断大小（几何）：

奇偶性求解析式（代数）：

• 初等函数：

指数与指数幂的运算法则

初中回顾：

正数的正分数的指数意义：

注：指数与指数幂的运算法则在全体实数R范围内都有效，如下图

分数指数幂习题

小例题（含未知数）:

小例题（不含未知数）:

幂函数的基本概念

幂函数基本形式：

幂函数五大基本知识：

小例题：

指数函数的基本概念

基本概念：

小例题：

1.底数相同：

2.底数不同：

①与1比较：

②将底数统一：

小练习：

对数的定义

基本概念 ：

常用对数：

自然对数：

小练习：

1.指数式与对数式相互转换：

2.求值练习：

特殊形式：

对数的运算法则

基本概念 ：

小例子：

换底公式：

小练习：

换底公式的运用：

对数函数的图像与性质

基本概念 ：

小例题：

初等函数（从一到无穷大系列）

—————这是华丽的分割线—————

• 函数综合：

零点存在性定理的运用（基础）

—————这是华丽的分割线—————

• 三角函数：

任意角的度数

基本概念 ：

小例题：

弧度制与扇形面积公式

基本概念 ：

小例题：

任意角的三角函数

基本概念 ：

注意：此处最后cos笔误，应为tan

全STC（全是第一象限都是正，S是第二象限的sin是正，T是第三象限的tan是正，C是第四象限的cos是正））

小练习：

同角三角函数的基本关系

基本概念 ：

小练习：

小例题：

三角函数的诱导公式

基本概念 ：

Ps：奇函数和偶函数定义域都关于原点或者Y轴对称

Ps：如果俩个角互补，那么它们的正弦值（sin）相等，余弦值（cos）和正切值（tan）互为相反数

诱导公式习题课

上节回顾 ：

小练习：

进阶：

奇变偶不变符号看象限口诀回顾：

三角函数的图像与性质

1.y=sinx

2.y=cosx

3.y=tanx

三角函数的一般形式与性质

基本概念 ：

A：振幅，确定函数的最低点和最高点的位置

ω：周期，欧米嘎越大周期越小；公式：T=2π/ω（tan的公式是T=π/ω）

ρ：左右平移量

B：上下平移量

小例子：

三角函数的一般形式（习题课）（中档）

本节考点：

平移伸缩例题：

图像例题：

函数性质例题：

同名三角函数化简求值（基础）

本节考点：

小例题：

（1）：

（2）：

小练习：

思路：已知一次的同角相加或相减的时候，往往利用平方法构造出来新式子，然后求出另一个相加或相减的式子，然后俩式联立，求得sin、cos的值，算tan

图像解决三角函数不等式问题（基础）

本节考点：

图像例题：

综合例题：

知识拓展（余切函数y=cot图像）：

五点法作图考点解析（基础）

基础概念：

小例题：

三角函数图像平移与伸缩变换（重要）（中档）

总考点：（之后三节课的）

平移考点：

伸缩变换考点：

①横坐标伸缩变换

注：最高点最低点都不变

②纵坐标伸缩变换

总结：纵坐标伸缩变换改变的是振幅，横坐标伸缩变换改变的是周期，而周期是由ω控制的

小例题：

①先伸缩再平移

②先平移再伸缩

综合例题：

三角函数对称性（重要）（中档）

基础考点：

进阶考点：

注：a为间距

解析式表达：

过渡例题：

思路：只有一个对称条件时，都是把括号里的当成一个整体去求

小例题：

题目分析：

A：

B：

C：

D：

三角函数的单调性（重要）（中档）

本节思路：

小例题：

（1）：

注：此问中的单调区间包括单调增区间和单调减区间俩种，一哥只求了增区间做示范

（2）：

含参例题：

三角函数难点克星——整体换元法（拔高）

—————这是华丽的分割线—————

• 不等式：

等式与不等式的性质（初中回顾）

注：本节课难度较小多为小学初中知识，初中基础较扎实的小伙伴可跳过

作差法：

如过想知道俩个数谁更大，只需要将俩数作差比较与零的关系

此题也可以用特殊值法做

如果遇到分式较多情况也可考虑作商

性质归纳：

不等式知识：

逆推法：

基本不等式

基本不等式(均值不等式)形式：

若x、y>0,则(x+y)/2≥√(xy)，仅当x=y时取等

推导：

扩展：

运用：

例题：

有时若基本不等式不可直接用，考虑先分离常数再做

“1”的代换（中档）

“1”的代换：

已知x/a+y/b=c，求(ta+hb)的最小值（a、b为未知数，其余皆为已知实数）可逆推使用

例题：

基本不等式中的“凑形”（中档）

重点：

有些题目无法使用基本不等式，我们需要观察或补项来把隐藏的不等式凑出来

例题：

注：下题涉及高二知识点余弦定理，高一小伙伴可跳过，以后复习再来看

基本不等式（从一到无穷大系列）

基本不等式在各种场景的使用方法：

1.直接使用

2.“1”的代换

3.补项

4换元法

二元一次不等式（组）与线性规划

本节课知识点：

概念：

二元一次不等式表示的并不是数轴上的区域，而是平面上的区域；可行域是指同时满足若干个方程组的区域

例题：

不等式的性质（基础）

注：本节课难度较为基础，主要初中重点知识回顾，初中基础较扎实的小伙伴可跳过

例题：

比较大小的问题，如果根号里的数相加相等可采用平方的方法（最好形式也化为一样的，可以方便比较）如下

线性规划高频考点（基础）

线性规划两部曲

①.画出可行域：

②.研究目标函数：

例题：

(*°ω°*)ﾉ"非战斗人员请撤离！！

─=≡Σ((( つ•̀ω•́)つ动感光波哔哔哔!!

“高考，无非就是很多人同时做同一份试卷，然后决定去哪一座城市。最终发现，错的每一道题都是为了遇见对的人，而对的每一道题，是为了遇见更好的自己。”

加油