UyHiP数学趣题：第48位小数——2008年10月

这个可爱的小谜题最近才引起我的注意，却立刻成了我的心头好。

这个谜题关于数字。 问题是：

这个数字的小数点后第48位是什么数字？

可以肯定的是，人们可以用任何位数足够精确的计算器来解决这个谜题，但这里的重点你得用头脑来解决这个问题。只有当答案涉及到证明所需数字是什么被推导出来，才会被认作通过，请不要在头脑中进行无法轻易完成的算术。

希望真正享受这个谜题的读者最好避免使用任何计算器来解谜。

解答

解答这个谜题的诀窍是将加法换成减法，那么表达式就变成了：

因为根号3减根号2这个数字明显小于1/3，所以不需要进行困难的计算就可以肯定，上式是一个非常小的数字，在小数点后面有很多很多个0。

另一方面，请看此式：

很容易发现它是一个整数：二项式展开中两边的偶数位置都是整数，而奇数位置则相互抵消。

因此，

的值离整数只差一个非常小的数字。所以，该数字小数点后的第48位是 "9"，小数点后的前900位及以上的所有其他数字也是如此。

碎碎念：纯纯的高中奥数。