【种花家务·代数】1-3-08整式的除法『数理化自学丛书6677版』

2023-09-23 10:35 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章整式

§3-8整式的除法

1、同底数的幂的除法

【01】让我们计算：a⁵÷a² (a≠0) 。

【02】在代数除法里，表示被除数的代数式叫做被除式，表示除数的代数式叫做除式，所得的结果叫做商。

【03】这里，被除式 a⁵ 与除式 a² 都是以 a 做底数的幂，所以这个除法叫做同底数的幂的除法。在除法里，因为除数不能是零，所以这里要规定 a≠0 。（以后遇到除法时，我们都假定除式的值不是零）

【注】记号“≠”读作“不等于”。

【04】根据除法是乘法的逆运算的规定，我们只要研究 a⁵ 是 a² 与怎样的代数式的积。我们知道，a²a³＝a⁵，∴ a⁵÷a²＝a³ 。在这个式子里，可以看到商仍旧是以 a 为底的幂，它的指数 3，就是被除式的指数 5 与除式的指数 2 的差，即 a⁵÷a²＝a³＝a⁵⁻² 。

【05】同样地，我们可以求出 a⁵÷a³＝a⁵⁻³ (a≠0)，a⁵÷a⁴＝a⁵⁻⁴ (a≠0) 。

【06】一般地说，∵ aⁿ·aᵐ⁻ⁿ＝aᵐ (m＞n)，∴ aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ (a≠0) 。……(1)

【07】现在，我们再来计算 a⁵÷a⁵ (a≠0)，很明显，所得的商是 1 。

【08】一般地说，∵ aᵐ·1＝aᵐ，∴ aᵐ÷aᵐ＝1 (a≠0) 。……(2)

【09】从上面的(1)和(2)，我们得到同底数的幂的除法法则：

(ⅰ)同底数的两个幂相除，如果被除式的指数大于除式的指数，那末底数不变，指数相减。即 aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ (m＞n)，m,n 都是自然数，a≠0 。

(ⅱ)同底数的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那末商等于 1 。即 aᵐ÷aᵐ＝1，m 是任意自然数，a≠0 。

【附注】同底数的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，这情况要在下面第五章里再讲。

例1.计算（这里所有字母都不等于 0；m,n是自然数）：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bmatrix%7D(1)%26x%5E4%5Cdiv%20x%5E2%3B%26(2)%26x%5E8%5Cdiv%20x%5E3%3B%26(3)%26x%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E5%3B%5C%5C(4)%26x%5E6%5Cdiv%20x%5E5%3B%26(5)%26x%5E6%5Cdiv%20x%5E6%3B%26(6)%26a%5E%7Bm%2Bn%7D%5Cdiv%20a%5Em%3B%5C%5C(7)%26a%5E%7B2m%7D%5Cdiv%20a%5Em%3B%26(8)%26a%5E%7B3m%2B2n%7D%5Cdiv%20a%5E%7Bm%2Bn%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)x%5E4%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E%7B4-2%7D%3Dx%5E2%3B%5C%5C%0A%26%26(2)x%5E8%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E%7B8-2%7D%3Dx%5E6%3B%5C%5C%0A%26%26(3)x%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E5%3Dx%5E%7B15-5%7D%3Dx%5E%7B10%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(4)x%5E6%5Cdiv%20x%5E5%3Dx%5E%7B6-5%7D%3Dx%5E1%3Dx%3B%5C%5C%0A%26%26(5)x%5E6%5Cdiv%20x%5E6%3D1%3B%5C%5C%0A%26%26(6)a%5E%7Bm%2Bn%7D%5Cdiv%20a%5Em%3Da%5E%7Bm%2Bn-m%7D%3Da%5En%3B%5C%5C%0A%26%26(7)a%5E%7B2m%7D%5Cdiv%20a%5Em%3Da%5E%7B2m-m%7D%3Da%5Em%3B%5C%5C%0A%26%26(8)a%5E%7B3m%2B2n%7D%5Cdiv%20a%5E%7Bm%2Bn%7D%3Da%5E%7B(3m%2B2n)-(m%2Bn)%7D%3Da%5E%7B2m%2Bn%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【注意】同底数的幂相除时，指数相减，不是指数相除，∴ x⁴÷x²＝x⁴⁻²＝x²，不是x⁴÷x²＝x⁴÷²＝x²；同样，x⁸÷x²＝x⁸⁻²＝x⁶，不是 x⁸÷x²＝x⁸÷²＝x⁴；x¹⁵÷x⁵＝x¹⁵⁻⁵ 不等于 x¹⁵÷⁵ 。

例2.计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bllll%7D(1)%26(x%5E3)%5E2%5Cdiv%20x%5E2%3B%26(2)%26(x%5E5)%5E3%5Cdiv(x%5E2)%5E3%3B%5C%5C(3)%26(x%5E5)%5E3%5Cdiv(x%5E3)%5E5%3B%26(4)%26(x%5E4%5Cdiv%20x)%5E3.%5Cend%7Barray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%3B(x%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%5Cdiv%20x%5E%7B2%7D%3Dx%5E%7B6%7D%5Cdiv%20x%5E%7B2%7D%3Dx%5E%7B6-2%7D%3Dx%5E%7B4%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26(2)%5C%3B(x%5E%7B5%7D)%5E%7B3%7D%5Cdiv(x%5E%7B2%7D)%5E%7B3%7D%3Dx%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E%7B6%7D%3Dx%5E%7B15-6%7D%3Dx%5E%7B9%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26(3)%5C%3B(x%5E5)%5E3%5Cdiv(x%5E3)%5E5%3Dx%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E%7B15%7D%3D1%3B%20%20%5C%5C%0A%26(4)%5C%3B(x%5E%7B4%7D%5Cdiv%20x)%5E%7B3%7D%3D(x%5E%7B4-1%7D)%5E%7B3%7D%3D(x%5E%7B3%7D)%5E%7B3%7D%3Dx%5E%7B9%7D%E3%80%82%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例3.计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%26(1)%5C%3B(x%5E3%60x%5E5)%5Cdiv%20x%5E2%3B%26%26(2)%5C%3B%5B(x%5E3)%5E2%60x%5E5%5D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3B%5C%5C%26%26(3)%5C%3B(x%5E2%60x%5E3)%5E3%5Cdiv(x%5E2)%5E4%3B%26%26(4)%5C%3B%5B(a%5E2)%5E3%60(x%5E3)%5E4%5D%5Cdiv(a%5E5)%5Ea.%5Cend%7Beqnarray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D(1)%5C%3B(x%5E3%C2%B7x%5E5)%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E8%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E9%3B%5C%5C(2)%5C%3B%5B%5Cleft(x%5E3%5Cright)%5E2%C2%B7x%5E5%5D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3D%5Cleft%5Bx%5E6%C2%B7x%5E5%5Cright%5D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3Dx%5E%7B11%7D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3Dx%3B%5C%5C(3)%5C%3B(x%5E2%C2%B7x%5E3)%5E3%5Cdiv%5Cleft(x%5E2%5Cright)%5E4%3D%5Cleft(x%5E5%5Cright)%5E3%5Cdiv%20x%5E8%3Dx%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E8%3Dx%5E7%3B%5C%5C(4)%5C%3B%5B(a%5E2)%5E3%C2%B7(a%5E3)%5E4%5D%5Cdiv(a%5E5)%5E2%3D%5Ba%5E6%C2%B7a%5E%7B12%7D%5D%5Cdiv%20a%5E%7B10%7D%3Da%5E%7B18%7D%5Cdiv%20a%5E%7B10%7D%3Da%5E8.%5Cend%7Barray%7D$

习题3-8(1)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81a%5E%7B8%7D%5Cdiv%20a%5E%7B3%7D.%20%5C%5C%26%26%0A2%E3%80%81b%5E%7B12%7D%5Cdiv%20b%5E%7B11%7D.%20%5C%5C%26%26%0A3%E3%80%81a%5E%7B20%7D%5Cdiv%20a%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A4%E3%80%81x%5E%7B100%7D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A5%E3%80%81x%5E%7Bm%2B1%7D%5Cdiv%20x%5E%7Bn%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A6%E3%80%81x%5E%7B2m%2Bn%7D%5Cdiv%20x%5Em.%20%5C%5C%0A%26%26%0A7%E3%80%81%20(a%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%5Cdiv%20a%5E%7B7%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A8%E3%80%81(a%5E%7B3%7D)%5E%7B5%7D%5Cdiv%20a%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A9%E3%80%81%20b%5E%7B13%7D%5Cdiv(b%5E%7B3%7D)%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A10%E3%80%81(x%5E%7B3%7D)%5E%7B4%7D%5Cdiv(x%5E%7B2%7D)%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A11%E3%80%81(a%5E%7B3%7D%5Ccdot%20a%5E%7B5%7D)%5Cdiv%20a%5E%7B2%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A12%E3%80%81.a%5E%7B16%7D%5Cdiv(a%5E%7B3%7D%5Ccdot%20a%5E%7B5%7D).%5C%5C%0A%26%26%0A13%E3%80%81a%5E%7B12%7D%5Cdiv%20a%5E3%5Cdiv%20a%5E9.%5C%5C%0A%26%26%0A14%E3%80%81(x%5Em)%5E2%5Cdiv%20x%5Em.%5C%5C%0A%26%26%0A15%E3%80%81x%5Em%C2%B7x%5E%7B2n%7D%5Cdiv%20x%5En.%5C%5C%0A%26%26%0A16%E3%80%81(x%5Em%C2%B7%20x%5E%7B2n%7D)%5E8%5Cdiv%20x%5E%7Bm%2Bn%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A17%E3%80%81(a%5E3%C2%B7%20a%5E5%C2%B7%20a%5E4%5Cdiv%20a%5E7)%5E3.%5C%5C%0A%26%26%0A18%E3%80%81%5B(a%5E3)%5E2%5D%5E3%5Cdiv%20a%5E5.%5C%5C%0A%26%26%0A19%E3%80%81a%5E%7B24%7D%5Cdiv%5B(a%5E2)%5E3%5D%5E4.%5C%5C%0A%26%26%0A20%E3%80%81(x%5E5%C2%B7%20x%5E3%C2%B7%20x%5Em)%5E2%5Cdiv%20x%5E6.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%261.%5Cquad%20a%5E%7B5%7D%3B%5Cquad2.%5Cquad%20b%3B%5Cquad3.%5Cquad%20a%5E%7B15%7D%3B%5Cquad4.%5Cquad%20x%5E%7B90%7D%3B%5Cquad5.%5Cquad%20x%3B%5C%5C%266.%5Cquad%20x%5E%7Bm%2Bn%7D%3B%5Cquad7.%5Cquad%20a%5E%7B9%7D%3B%5Cquad8.%5Cquad%20a%5E%7B10%7D%3B%5Cquad9.%5Cquad%20b%3B%5Cquad10.%5Cquad%20x%5E%7B2%7D%3B%5C%5C%2611.%5Cquad%20a%5E%7B6%7D%3B%5Cquad12.%5Cquad%20a%5E%7B8%7D%3B%5Cquad13.%5Cquad1%3B%5Cquad14.%5Cquad%20x%5E%7Bm%7D%3B%5Cquad15.%5Cquad%20x%5E%7Bm%2Bn%7D%3B%5C%5C%2616.%5Cquad%20x%5E%7B2m%2B5n%7D%3B%5Cquad17.%5Cquad%20a%5E%7B15%7D%3B%5Cquad18.%5Cquad%20a%5E%7B15%7D%3B19.%5Cquad1%3B%5Cquad20.%5Cquad%20x%5E%7B2m%2B10%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

2、单项式除以单项式

【10】我们来计算：36a³b⁵c²÷12a³b³ 。

【11】这是一个单项式除以单项式的问题。我们仍旧可以利用除法是乘法的逆运算这一关系来推出计算的法则。∵ 12a³b³×3b²c²＝36a³b⁵c²，∴ 36a³b⁵c²÷12a³b³＝3b²c² 。

【12】很明显，3 就是 36÷12；b² 就是 b⁵÷b³；而 a³÷a³＝1，在商里就没有字母 a 了；在被除式里有 c²，而除式里没有字母 c，所以商里还是 c² 。

【13】一般地说，我们有单项式除以单项式的法则：单项式除以单项式，系数和相同字母的幂分别相除，只在被除式里有的字母的幂，保留在商里。

【附注】在单项式与单项式相除时，如果某些字母在被除式里的指数小于在除式里的指数，或者在除式里出现某些在被除式里所没有的字母，这些情况要在以后讲到分式时再讲。

例4.计算：(－136a⁵b³c²d)÷(－4a³b²c²) 。

【解】(－136a⁵b³c²d)÷(－4a³b²c²)＝＋34a²bd 。

【说明】(－136)÷(－4)＝34，就是商的系数，a⁵÷a³＝a²，b³÷b²＝b，c²÷c²＝1，d 保留不动，所以商是 34a²bd。

例5.计算： $%5Cscriptsize%5Cleft(-1%5Cfrac23x%5E5y%5E7z%5E3%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B3%5Cfrac13x%5E3yz%5E3%5Cright)$ 。

【解】 $%5Cscriptsize%5Cleft(-1%5Cfrac23x%5E5y%5E7z%5E3%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B3%5Cfrac13x%5E3yz%5E3%5Cright)%3D-%5Cfrac12x%5E2y%5E6$ 。

例6.计算：(－324a²ᵐ⁺ⁿb³ᵐcᵐ⁺³)÷(－12aᵐb²ᵐc²) 。

【解】(－324a²ᵐ⁺ⁿb³ᵐcᵐ⁺³)÷(－12aᵐb²ᵐc²)＝27a⁽²ᵐ⁺ⁿ⁾⁻ᵐb³ᵐ⁻²ᵐc⁽ᵐ⁺³⁾⁻²＝27aᵐ⁺ⁿbᵐcᵐ⁺¹ 。

【注】在计算熟练以后，中间步骤可以不写出来。

习题3-8(2)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%816a%5E2%5Cdiv(-2a).%5C%5C%26%26%0A2%E3%80%81-12a%5E2b%5E3%5Cdiv(-3ab%5E3).%5C%5C%26%26%0A3%E3%80%81(24a%5E3b%5E4c)%5Cdiv(6a%5E2bc).%5C%5C%26%26%0A4%E3%80%81(140x%5E3y%5E5)%5Cdiv%5Cleft(%5Cfrac12x%5E3y%5E5%5Cright).%5C%5C%26%26%0A5%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac23a%5E3x%5E2%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%5Cfrac12a%5E2x%5Cright).%5C%5C%26%26%0A6%E3%80%81(32a%5E3b%5E5x%5E3y)%5Cdiv(-8a%5E2bx%5E3).%5C%5C%26%26%0A7%E3%80%8136a%5E2b%5E3%5Cdiv12ab.%5C%5C%0A%26%26%0A8%E3%80%8136a%5E2b%5E3%5Cdiv12a.%5C%5C%0A%26%26%0A9%E3%80%810.4a%5E3x%5E5y%5E%7B100%7D%5Cdiv0.2ax%5E4y.%5C%5C%0A%26%26%0A10%E3%80%8136a%5E%7B2m%7D%5Cdiv(-6a%5Em).%5C%5C%0A%26%26%0A11%E3%80%81(6a%5E3)%5E2%5Cdiv(4a).%5C%5C%0A%26%26%0A12%E3%80%81(3a%5E2b%5E3c)%5E3%5Cdiv(-a%5E3b%5E5).%5C%5C%0A%26%26%0A13%E3%80%81(-12a%5E3b%5E4)%5E2%5Cdiv(2ab)%5E3.%5C%5C%0A%26%26%0A14%E3%80%81(3a%5E2)%5E3%5Ccdot(4b%5E3)%5E2%5Cdiv(6ab)%5E3.%5C%5C%0A%26%26%0A15%E3%80%81(3a%5Em)%5E2%5Cdiv%20a%5E%7B2m%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A16%E3%80%81(4a%5E%7Bm%2B1%7D)%5E3%5Cdiv8u%5E%7B2m%2B1%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A17%E3%80%81a%5E%7Bm%2Bn%7D%C2%B7(3a%5Emb%5En)%5Cdiv(-a%5E%7B2m%7D).%5C%5C%0A%26%26%0A18%E3%80%81x%5E%7Bm%2B3%7D%60(2x%5E2)%5E3%5Cdiv4x%5Em.%5C%5C%0A%26%26%0A19%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac23a%5E2b%5E3%5Cright)%5E3%5Cdiv%5Cleft(%5Cfrac12ab%5E2%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%26%26%0A20%E3%80%81(0.4a%5E3b%5Em)%5E2%5Cdiv(2a%5E2b%5Em)%5E2.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%2610.%5Cquad-6a%5Em%3B%5Cquad11.%5Cquad9a%5E5%3B%5Cquad12.%5Cquad-27a%5E9b%5E3c%5E3%3B%5Cquad13.%5Cquad18a%5E3b%5E5%3B%5C%5C%2614.%5Cquad12a%5E4b%5E4%3B%5Cquad15.%5Cquad9%3B%5Cquad16.%5Cquad8a%5E%7Bm%2B2%7D%3B%5Cquad17.%5Cquad-3a%5Enb%5En%3B%5Cquad18.%5Cquad2x%5E9%3B%5C%5C%2619.%5Cquad%5Cfrac%7B32%7D%7B27%7Da%5E4b%5E5%3B%5Cquad20.%5Cquad0.04a%5E2.%5Cend%7Baligned%7D$

3、多项式除以单项式

【14】让我们计算：(3a³－6a²－9a)÷3a 。

【15】这里被除式是一个多项式，除式是一个单项式。

【16】根据除法运算性质 (a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m，我们有 (3a³－6a²－9a)÷3a＝3a³÷3a＋(－6a²)÷3a＋(－9a)÷3a＝a²－2a－3 。

【17】一般地说，我们有多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，只要把被除式的各项分别除以除式，把所得的各商写成代数和。

例7.计算：(1) (3a²－6a＋18)÷(－3)；(2) (24x⁴y³－36x³y⁴)÷(－12xy²) 。

【解】

(1) (3a²－6a＋18)÷(－3)＝－a²＋2a－6；

(2) (24x⁴y³－36x³y⁴)÷(－12xy²)＝－2x³y＋3x²y³ 。

例8.计算：(0.12a³b⁴c－0.4a²b³c＋0.6ab³d)÷(0.2ab³) 。

【解】(0.12a³b⁴c－0.4a²b³c＋0.6ab³d)÷(0.2ab³)＝0.6a²bc－2ac＋3d 。

【注意】0.4÷0.2＝2，不是0.2 。

例9.计算：(x³ᵐ⁺²ⁿ＋x³ᵐ⁺ⁿ＋3x²ᵐ)÷(－x²ᵐ) 。

【解】(x³ᵐ⁺²ⁿ＋x³ᵐ⁺ⁿ＋3x²ᵐ)÷(－x²ᵐ)＝－xᵐ⁺²ⁿ＋xᵐ⁺ⁿ－3 。

【注意】3x²ᵐ÷(－x²ᵐ)＝－3，不是－3x 。

习题3-8(3)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(12a%5E%7B4%7D-16a%5E%7B3%7D%2B24a%5E%7B2%7D)%5Cdiv(-4a%5E%7B2%7D).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81(36a%5E%7B4%7Dx%5E%7B5%7D-24a%5E%7B3%7Dx%5E%7B4%7D%2B48a%5E%7B2%7Dx%5E%7B3%7D)%5Cdiv(-6a%5E%7B2%7Dx%5E%7B3%7D).%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(-81x%5E5y%5E5%2B27x%5E4y%5E4-9x%5E3y%5E3)%5Cdiv(%2B9x%5E3y%5E3).%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(3a%5E%7B2%7Db-6a%5E%7B3%7Dc%2B12a%5E%7B4%7Dd)%5Cdiv(-3a).%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(0.6a%5E%7B3%7Db%5E%7B2%7Dc-0.8a%5E%7B2%7Db%5E%7B3%7Dc%5E%7B2%7D%2B0.4ab%5E%7B2%7Dc%5E%7B3%7D)%5Cdiv(-002abc).%20%5C%5C%0A%266%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%5E%7B4%7Dx%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Da%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Da%5E%7B2%7Dx%5E%7B4%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Da%5E%7B2%7D%5Cright).%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a%5E%7B2m%2B5%7D-3a%5E%7B2m%2B3%7D%2B9a%5E%7B2m%2B2%7D)%5Cdiv(3a%5E%7B2m%2B1%7D).%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81(a%5E%7B2m%2B2%7Db%5E%7Bn%2B3%7D-3a%5E%7B2m%2B1%7Db%5E%7Bn%2B1%7D)%5Cdiv(-a%5E%7Bm%7Db).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%265.%5C%3B-30a%5E2b%2B40ab%5E2c-20bc%5E2%3B%5C%5C%266.%5C%3B-%5Cfrac34a%5E2x%5E2%2B%5Cfrac12ax%5E3%2B%5Cfrac98x%5E4%3B%5C%5C%267.%5C%3B%5Cfrac13a%5E4-a%5E2%2B3a%3B%5C%5C%268.%5C%3B-a%5E%7Bm%2B2%7Db%5E%7Bn%2B2%7D%2B3a%5E%7Bn%2B1%7Db%5En.%5Cend%7Baligned%7D$

4、多项式除以多项式

【18】多项式除以多项式，一般可用直式演算，方法同算术里的多位数除法很相象，举例说明如下：

例10.计算：(x²＋5x＋6)÷(x＋3) 。

【解】

【19】解法步骤说明：

(1)先把被除式 x²＋5x＋6 及除式 x＋3 写好。

(2)将被除式 x²＋5x＋6 的第一项 x² 除以除式 x＋3 的第一项x，得 x²÷x＝x，这就是商的第一项，写在被除式第一项 x² 的上面。

(3)以商的第一项 x 与除式 x＋3 相乘，得 x(x＋3)＝x²＋3x，就是被除式应该拆出的一个部分，写在 x²＋5x＋6 的下面。

(4)从 x²＋5x＋6 减去 x²＋3x，得差 2x＋6，写在下面，就是被除式去掉 x²＋3x 后的一部分。

(5)再让 2x＋6 的第一项 2x 除以除式的第一项 x，得 2x÷x＝＋2，这就是商的第二项，写在商的第一项的后面，写成代数和形式。

(6)以商的第二项＋2 与除式 x＋3 相乘，得 2x＋6，写在刚才的差 2x＋6的下面。

(7)相减得差零，就表示刚好能够除尽.

(8)∴ (x²＋5x＋6)÷(x＋3)＝x＋2 。

例11.计算：(2x³－x²＋3x－9)÷(2x－3) 。

【解】

例12.计算：(－24x²＋7x³－21＋58x)÷(－3＋7x) 。

【注意】在演算除法时，必须先将被除式和除式按照字母的降幂排列好，否则进行将遭遇困难。

【解】按 x 的降幂将被除式整理为 7x³－24x²＋58x－21，除式整理为 7x－3，列式演算如下：

例13.计算：(x³－8x－3)÷(3－x) 。

【解】被除式按心的降幂排列时，缺 x² 这一项，要空出适当地位，除式按 x 的降幂排列，应为。－x＋3；演算如下：

例14.计算：(1－5x＋5x²－4x³)÷(x²－x＋1) 。

【解】

习题3-8(4)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(2x%5E%7B2%7D-3x%2B1)%5Cdiv(x-1).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81%20(6x%5E3%2B14x%5E2-4x%2B24)%5Cdiv(2x%2B6).%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(3x%5E%7B2%7D%2Bx%2B9x%5E%7B3%7D-1)%5Cdiv(3x-1).%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81%20(2x%5E3-5x%5E2%2B18)%5Cdiv(2x%2B3).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(x%5E4%2B2x%5E2-x%2B2)%5Cdiv(1-x%2Bx%5E2).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(x%5E4%2B11x%5E2%2B6-5x%5E3-12x)%5Cdiv(3%2Bx%5E2-3x).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(18a%5E4%2B82a%5E2%2B40-67a-45a%5E3)%5Cdiv(3a%5E2%2B5-4a).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(12%2B82x%5E2%2B106x%5E4-70x%5E5-112x%5E3-38x)%5Cdiv(3-5x%2B7x%5E2).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%265.%5C%3B%20x%5E2%2Bx%2B2%3B%5C%5C%266.%5C%3B%20x%5E2-2x%2B2%3B%5C%5C%267.%5C%3B6a%5E2-7a%2B8%3B%5C%5C%268.%5C%3B-10x%5E3%2B8x%5E2-6x%2B4.%5Cend%7Baligned%7D$

5、多元多项式除法

例15.计算：(6x³－x²y－14xy²＋3y³)÷(2x－3y) 。

【解】这里有两个字母 x 与 y，按 x 的降幂排列，而后演算，如下：

例16.计算：(4a⁴x²－4a²x⁴＋x⁶－a⁶)÷(x²－a²) 。

【解】

【说明】被除式里 x 的幂只有偶数次的，因为除式里 x 的幂也只有偶数次的，所以缺项就不必留出空位。

例17.计算：(a⁶－b⁶)÷(a－b) 。

【解】

例18.计算.(a²－b²－2bc－c²)÷(a－b－c) 。

【解】按 a 的降幂排列，a 的幂相同时按 b 的降幂排列。

习题3-8(5)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a%5E%7B2%7D-4ab%2B3b%5E%7B2%7D)%5Cdiv(a-3b).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81(4x%5E%7B2%7D-5xy%2By%5E%7B2%7D)%5Cdiv(4x-y).%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(a%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D)%5Cdiv(a%2Bb).%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(a%5E%7B3%7D%2Bb%5E%7B3%7D)%5Cdiv(a%2Bb).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(8x%5E%7B3%7D-27y%5E%7B3%7D)%5Cdiv(2x-3y).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(a%5E4%2B2a%5E2b%5E2%2B9b%5E4)%5Cdiv(a%5E2-2ab%2B3b%5E2).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a%5E5%2B32b%5E5)%5Cdiv(a%2B2b).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(4a%5E2b%5E2-3a%5E3b%2B3ab%5E3%2Ba%5E4-5b%5E4)%5Cdiv(b%5E2-a%5E2).%5C%5C%0A%269%E3%80%81(2ab%2Bb%5E2%2Ba%5E2%2B2ac%2B2bc%2Bc%5E2)%5Cdiv(b%2Ba%2Bc).%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(a%5E2-2ab%2Bb%5E2-c%5E2)%5Cdiv(a-b%2Bc).%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%266.%5C%3Ba%5E2%2B2ab%2B3b%5E2%3B%5C%5C%0A%267.%5C%3Ba%5E4-2a%5E3b%2B4a%5E2b%5E2-8ab%5E3%2B16b%5E4%3B%5C%5C%0A%268.%5C%3B-a%5E2%2B3ab-5b%5E2%3B%5C%5C%0A%269.%5C%3B%20a%2Bb%2Bc%3B%5C%5C%0A%2610.%5C%3B%20a-b-c.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

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【种花家务·代数】1-3-08整式的除法『数理化自学丛书6677版』

习题3-8(1)

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