为什么会有“陪集”这个概念？

数学非具体问题QA系列第二期

Q：为什么会有“陪集”这个概念？

A ：设群为G，子群为H，我们不妨仅讨论“左陪集”的概念，“右陪集”同理可得。

一般书上直接就引入了“左陪集”的定义：H关于a的左陪集是集合aH：={ah|a∈G，h∈H} 。这样引入似乎很自然，不就是选取G中一元素，然后左乘以H中每个元素，生成一个集合并取名吗？好像是人都会这么操作，但你可能越往后越会产生割裂感，就像我当初一样，拥有这么多良好性质的概念就这么直接诞生了？？？天上掉馅饼了？

不，不是的，这和上期《数学非具体问题QA》中讲的数学分析教材的编写顺序类似，是一种倒叙手法，从逻辑顺序上讲，我们从来不是先定义一个概念，然后去研究它的性质，你怎么知道你定义的东西有好的性质呢？就像集合{1，3，4，84556}，这玩意你有必要上来取个名字吗？不难发现，新的概念的出现一直都是在荒野中思考、摸索时，逐渐发现了一个未知名的东西，它拥有了一些有趣的性质，然后嫌没名讨论太麻烦，那就取个名再继续研究吧。

现在让我们回到刚知道G和H定义的时候，不妨思考有限集合G，元素个数|G|=n。

我在余篇贯穿研究一个例子（你怎么具体了呢？好吧，问题不是很具体呢）。

例：我们有一个mod6剩余类{0，1，2，3，4，5}，它在加法运算上构成群，记为G（更准确的说，G是个阿贝尔群，不过无关紧要，我们在后面研究过程中禁止使用交换律就行），它有个子群{0，3}，记为H。

我们尝试将G中所有元素，分别左乘以H中所有元素，得到n个集合。

例:{0，3}  （选取0∈G）记M0；

{1，4}（选取1∈G）记M1；

{2，5}（选取2∈G）记M2；

{3，0}（选取3∈G）记M3；

{4，1}（选取4∈G）记M4；

{5，2}（选取5∈G） 记M5。

性质1：M0∪M1∪M2∪M3∪M4∪M5=G (显然啊，因为H有单位元，将G中所有元素分别左乘以时，选a就会在集合Ma中生成a，那么所有集合的并集当然拥有所有元素。)

性质1可以说在这个时候无关紧要，所以你不发现也无所谓，它更可能是你在后面研究时，想要利用的一个性质。

我们观察到有些集合是相等的，不存在相交不相等的情况，也就是说两个集合要么相等，要么不相交。这个观察到的是否具有一般性呢？

例：M0=M3；M1=M4；M2=M5

猜想：我们尝试将G中所有元素，分别左乘以H中所有元素，得到n个集合，这n个集合中任意2个集合要么相等，要么不相交。不可能不相等但却相交的情况，就是奥林匹克五环中相邻的两个环一样。

即证相交，则相等。

证明1：假设两个生成集合Mp，Mq。Mp∩Mq={k}

→k=p（h1）=q（h2）→p=k（h1-）=q（h2）（h1-）

（h1）（h2）中1，2为下标，均∈H，表明不一定相等，例：M0∩M5={2}，2=0+2=5+3（mod6）

（h1-）为（h1）的逆元

任取Mp中一元素a，a=p（h3）=q（h2）（h1-）（h3）

因为H有封闭性，（h2）（h1-）（h3）∈H，设h4=（h2）（h1-）（h3）

→a=q（h4）

→a为Mq中元素

同理，任取Mq中的元素一定∈Mp

故Mp=Mq          

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性质2：这n个集合中任意2个要么相等，要么不相交。

自然而然，我们好奇什么时候相等呢？也就是什么时候有相交元素呢？

根据刚才的证明过程，p=k（h1-）=q（h2）（h1-）→（q-）p=（h2）（h1-）

设（h2）（h1-）=h∈H→（q-）p=h∈H

引理1：（q-）p=h∈H ⇄  Mp=Mq

到这里，我们摸索到了什么呢？

我们有n个集合，但也许有些集合是完全一样的，（而且不需要求出结果Mp和Mq，我们可以直接研究p和q的关系），此时，性质1等式左边有些项任意选其中一个留下就行。

例：M0∪M1∪M2∪M3∪M4∪M5=G 可以变为M0∪M1∪M2=G

 将M1和M4任意选择其中一个留下，这里“任意”二字非常关键，用数学术语来说，是因为两者是相等的，但二者也有非结果上的区别，他们的生成方式不同。M1和M4，一个是1生成的，一个是4生成的，那1和4有什么关系呢？根据引理1→（4-）+1=2+1=3∈H。

利用p和q满足（q-）p=h∈H这个关系，我们定义此时p等价于q。

定义：p~q ：⇄ （q-）p=h∈H

由此→

定理1： p~q⇄ （q-）p=h∈H ⇄  Mp=Mq  

我们看到了什么？

在数学中，我们将一个集合切割成n个集合，如果这n个集合拥有性质1和性质2，那我们称之为分划。显然，我们这时候得到了一个分划，G被分划为M0，M1，M2。

到这里，其实是个小终点了，为什么？因为我们看到了分划，这代表我们进入了一个以前研究过的概念领域，我们可以用分划领域的工具继续研究下去，就像你研究一个数列，突然发现它的递推关系可以用矩阵方程来表示，那不就可以引入特征方程、动力系统等来继续研究了吗？

此时，我们可以继续用那些之前就有的名词，譬如等价，等价类，代表元等等，但也可能我们要突出一些区分，因为现在不是集合，而是群，我们不是随便拿个元素去切割，（譬如对于自然数集合，我们可以拿任意一个自然数n去切割，得到modn），而是用子群是切割。

此时的等价类是怎么来的？是用子群H，通过定义的等价关系~，分划G得到的。

这一个个特殊方式得到的等价类我们不妨取个名字吧，他们的产生方式，很容易产生写aH的念头，陪伴着H产生的一系列子集（注意不是子群，可通过判断是否拥有单位元），也许可以叫做“陪集”？

而像modn剩余类一样，我们也想给这些陪集的集合一个名字，也许可以叫做“商集”？记G/~或G/H？

其实名字不是关键，用以前的名字照样可以研究，关键是什么？关键是研究的过程与顺序，被动接受一些概念太可怕了，希望大家不要带着割裂感学习，我经常说这句话，至于为什么，你大概率听我说过了。

注意我们研究过程中产生的定理1，这是伴生品。