【趣味数学题】 三角形的内接圆
郑涛 (Tao Steven Zheng) 著
【问题】
此问题选自会田安明（Aida Yasuaki，1747 年 - 1817 年）《算法天生法指南》（1811）：
假设一个圆内接在一个边长为13、14、15的三角形中。问：内接圆的直径是多少？
【题解】
（1）用 “海伦公式” 或 秦九韶的 “三斜求积术” 公式 来计算三角形的面积。
海伦公式
海伦（Heron of Alexandria，约公元 10 年 - 70 年）在《度量论》（Metrica）卷一给出：
其中 为三角形的面积，
、
、
分别为三角形的边长和
为半周长（semi-perimeter）。
秦九绍的“三斜求积术”
秦九绍（1202—1261）在《数书九章》卷五“田域类”第二问给出：
其中 为三角形的面积，
为小斜边长，
为中斜边长，
为大斜边长。
(2)
如图1所示， 可分为三个三角形：
,
and
。因此，
的面积是
其中
因为线段 、
、
都是圆的半径, 所以
。然后设
、
、
.
因此，
因为半径是直径的一半，
因此，内接圆的直径为
