【数学分析思维解释统计学】几何平均数：如何计算股票的平均收益率？

股票是如今市场经济的重要一环，有相当一部分的人们喜欢投资股票。但是如果我们去投资股票的话，总是会碰上平均收益率的问题。那么要如何去计算股票n年内的平均收益率呢？ 统计学给了我们答案：使用几何平均数的方法去计算。 那么大家有没有思考过这么计算的原因呢？为什么要这样去计算，我们从小学起就接触算术平均数，算术平均数方便又好用，使用算术平均数计算不行吗？ 答案自然是否定的，无他，几何平均数更准确尔。今天我们就从数学证明（数学分析）的角度去剖析这个问题。

首先我们要引入一个新的概念，一种特殊的平均数——几何平均数。 【定义】几何平均数是n个变量值乘积的n次方根。 【引入问题】一位投资者持有一种股票，连续n年的收益率分别是g1，g2，...，gn，要求计算该投资者在这n年的平均收益率（并且证明这样计算的正确性） 假设投资者最初投入x0元，则第n年的本利总和为：xn=x0(1+g1)(1+g2)···(1+gn)。 而几何平均率G等于(1+g1)(1+g2)···(1+gn)的n次平方根减去1。 使用几何平均率计算第n年的本利总和则使用本金数x0乘上1+G的n次方。加一减一相抵消，n次方与开n次方根相抵消，刚好等于xn，与实际上第n年的本利总和一致。 使用几何平均数法计算股票第n年的平均收益率得证。

下面引入一个实例说明对比率数据的平均律采用几何平均比算术平均数合理。 【实例】一位投资者持有一种股票，从2000年开始连续4年的收益率分别为4.5%，2.1%，25.5%，1.9%。 假设该投资者2000年投入1万元购买了该股票，第四年的本利总和应为10000*104.5%*102.1%*125.5%*101.9%≈13644.57（元）。 几何平均数收益率G≈8.0787%。 则按几何平均法计算，第四年本利总和应为10000*(108.0787%)^4≈13644.59（元） 这里出现0.02元的偏差是由于几个约等于号的估算导致的，小数位取得更多，误差可以降低更多，计算结果更加精准。 但如果按照算术平均计算，平均收益率为：G=(4.5%+2.1%+25.5%+1.9%)/4=8.5%。 按照算术平均率计算，2004年该投资者的本利总和为：10000*(108.5%)^4=13858.59（元）。 与实际本利总和相差214.02元，而这一部分的收益投资者并没有获得。这说明了计算比率数据的平均，采用几何平均比算术平均合理。