贵阳2023九年级期末考试数学16题解法分享

本次考试全名贵阳市普通中学2022-2023学年度第一学期期末质量监测考试，因疫情原因从上学期末推迟到本学期开学后2月2日-2月4日举行，共7科，每科100分，全市统考（少量贵州省内地州市使用同一套试题），全花溪区统一改卷。本次数学试题的填空题最后一题（16题）难度较大，在此分享我收集到的三种方法。

题目：如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M是平面内一动点，且BM=2。连接DM，取DM的中点N，连接CN，求CN的取值范围。

三种方法复杂程度由低到高。

解法一：（来自老师）

连接BD，取BD中点O；连接ON，OC。

∵MN=DN，BO=DO

∴ON是△OBM中BM所对的中位线

∴ON=1/2*BM=1

∵∠BCD=90°，BO=DO

∴OC=1/2*BD=1/2*√(3²+4²)=5/2

∴当N，O，C三点构成三角形时，5/2-1<CN<5/2+1，即3/2<CN<7/2

当N，O，C三点共线时，ON+OC=CN，或ON+CN=OC，此时CN为3/2或7/2。

所以，CN的取值范围是3/2≤CN≤7/2。

解法二：（自己想的）

由题意可知，点M在半径为2的圆B上运动。延长CD，取CD'=CD，连接D'M。

∵MN=DN，CD'=CD

∴CN是△DD'M中MD'所对的中位线

∵D'M的最大值为延长D'B交○B于B左侧的M点

∴D'M最大为√(3²+4²)+2=7

∵D'M的最小值为D'B交○B于B右侧的M点

∴D'M最大为√(3²+4²)-2=3

∴3≤D'M≤7

∴3/2≤D'M≤7/2

解法三：（来自老师）

由题意可知，点M在半径为2的圆B上运动。

∵∠MDN=0°，MD/ND=2

∴N在圆O上运动，则∠BDO=0°，BD/OD=r圆B/r圆O=2（瓜豆原理）

∴BO=DO=CO=5/2，r圆O=1

∴ON=1

∵CN的最大值为延长CO交○O于O左侧的N点

∴CN最大为5/2+1=7/2

∵CN的最小值为OC交○O于O右侧的N点

∴CN最大为5/2-1=3/2

∴3/2≤CN≤7/2

据我们数学老师参与改卷后说，此题在全区8000名考生中有正确答案的不到80名，得分率不达1%。（可能有点夸张了，但是我们班上的也只有我做出来了，大致为2%）

需要注意的是，这里的M点是在整个平面内运动，而不仅仅是在矩形内，所以M点轨迹可以是在整个圆B上。如果题目限制M点在矩形内运动，那么最终答案是很多同学填入的√13/2≤CN≤√41/2。

最后说一点关于我自己的题外话。虽然我把这道4分的题做出来了，但很可惜的是后面一个6分的解答题数据看错了，最终成绩也是扣了6分，我自己也感慨“拆东墙补西墙，东墙比西墙大”。借此，希望自己在初中最后一个学期继续拼搏，考上一个好高中，也同时祝各位学业有成。（？）

画图软件使用：desmos

瓜豆原理运用详见：中考数学最值噩梦【瓜豆原理】使用指南