之前我还觉得写不了广相来着，现在想还可以试一下，试试把广相的数学用文字和图片理解（？）因为后面的黑洞理论很有趣，包括黑洞热力学，也就是霍金时代的一些理论，确实很漂亮，想拿出来介绍一下（虽说我广相只是学了个开头，后面基本是只看结论了的，希望我写的能够理解）（漂亮！就是本系列的主旨！本期的主题是，漂亮的场方程！）

引言

还是先从历史说起。万有引力定律，是牛顿在很早就建立了的一条定律，它描述任意两个物体之间都有引力，并且引力与两物体的质量成正比，与距离成平方反比。牛顿同样还建立过一个牛顿第二定律，它描述物体运动的加速度与外力成正比，与质量成反比。那么这里出现了两个质量。这两个质量，它们的作用完全不同，但是在牛顿之后的时代，这两者都是同一个质量似乎是人们的共识。为了严谨，我们现在给它们取不同的名字，管它们叫做引力质量与惯性质量。这之后，有诸多的实验测量了物体的引力质量和惯性质量是否相等（或 成正比），譬如最有名的伽利略在比萨斜塔上扔铅球的实验（虽说这个实验很有可能并未真正进行过），证实不同质量的物体在引力场下的加速度相同。之后也有很多的实验，在更高的精度上，证实了物体的引力质量和惯性质量相等（或者说成正比，在取标准单位制后，相等）。

那么，这两个看似没有关联的量，一个代表它在引力场中受力的大小，一个代表它被推动的难易程度，为什么会相等呢？

part2里，爱因斯坦在1905年，发表了《论动体的电动力学》，建立了狭义相对论，认为时间和空间是一个整体，叫做闵可夫斯基时空。

随后爱因斯坦注意到了这个问题。首先牛顿的万有引力定律和爱因斯坦的狭义相对论并不相容，万有引力定律暗示引力是瞬间传播的超距作用，与狭义相对论里信息最多以光速传播矛盾。也就是说，在现在的狭义相对论框架下，迫切需要一个新的引力理论填补空白。而且，这两个质量严格相等，暗示着在时空的一点放下任何物体，物体都会随一个固定路径，固定速度运动，与物体本身的质量无关。

这种毫无个性的集体行为强烈地暗示着引力是整个时空背景的内禀性质，与其他力有实质性的差别。——[1]

那么这时，爱因斯坦就有了一个大胆的设想。或许这个引力并不是先有一个力，而后力再拉动物体。而是这个时空的几何结构让物体自然的以这个轨迹运动。这就与物体的质量啊引力啊无关了。在时空的固定点放下任何的一个自由物体，物体都会因为时空本身的结构而以固定路径，固定速度运动。

那么，这个时候，就与狭义相对论不同了。为了描述时空的几何结构，需要一个额外的数学工具，叫做微分几何。详述微分几何有点难度，这里会尝试以文和图来浅显地大致描述一下......

（所以事实上，广义相对论是一个描述引力的理论，它是构建在狭义相对论的基础上，但是这并不意味着广义相对论是狭义相对论的完备化，而是一个纳入了新要素的推广。可以认为，与名字“广，狭”无关，这两者是两个不同的理论。）

弯曲的空间

广义相对论涉及到弯曲的时空，那么弯曲的空间是什么样子的呢？

定量化描述弯曲空间的量一般是曲率和挠率。首先举个最简单的例子，人类生活在地球上，地球表面是个球面，这就是一个弯曲的二维空间。但是呢，之所以说它是球面，是因为它在被嵌入外部的三维空间来看的时候，它是球形弯曲的。这被叫做外曲率。而相对，如果只通过在曲面上的观测而测得的弯曲程度，被叫做内禀曲率。比如说，一个柱面的内禀曲率就是0（而外曲率并不为0），也就是说，如果不跳到更高维空间（三维），只在曲面上进行测量的话，是分不出一块柱面和一块平面的区别的。（当然完整的柱面存在周期性而平面没有，这是区别，但是这是广域的性质。这里所述的分不出区别，是只考虑在曲面上局域的测量，也就是相对曲面本身很小的一块区域。）

有内禀曲率的曲面，在几何上的性质和平面肯定是有区别的。比如说，球面上的三角形内角和是要大于180度的。比如我们取这样一个三角形：

可以看到，这个三角形的三个角都是直角，内角和是270度，并不是我们常见的欧几里得几何的180度。（p.s.事实上，我听说曾经有人测过地球上大三角形的内角和（假设光行直线），由于具体出处不详正确性不详大家慎重相信，如果有人知道欢迎告诉我...）

这只是宏观来看的一个例子。如果曲面更加复杂，每个地方的弯曲程度都不一样，就需要一个量来定量描述弯曲程度了，也就是刚才提到的曲率和挠率。

那么在曲面内，有什么方法可以观测到曲率和挠率呢？几何上来讲，有挠率的空间，一个点沿两个不同顺序的向量平移会平移至不同的点；有曲率的空间，一个向量沿不同路径平移后结果不相等。就像下图这样：

还是拿二维曲面直观的来看，像这图里一样，一个向量沿着这个环形平移一圈之后，和原来不相等。

但是，我们还是需要一个微观的定量的描述弯曲程度的量。这个量就是黎曼曲率张量，或者叫里奇张量R。

这个式子看不懂不要紧。里奇张量可以理解为，一个向量先沿b求导再沿a求导，与它先沿a求导再沿b求导之差。就算不知道具体的算法和定义，也可以看出与之前向量平移的图类似了吧。描述时空本身的量称为度规张量gab（其中ab是下标），而曲率张量则是gab的一个函数。（对这里面的数学有兴趣的同学可以参考文末的参考文献[1]。）

（p.s.广义相对论中的空间默认都是无挠的，只有曲率没有挠率。）

相对性原理与等效原理

好了，那么数学完了，接下来该物理了。狭义相对论的基本假设中有一狭义相对性原理：一切惯性系中的物理定律形式相同。相信很多人也听说过，爱因斯坦将其推广到了广义相对性原理：一切参考系中的物理定律形式均相同，将惯性系与非惯性系平权。这一原理有许多描述，课本[1]中使用的描述是这样的：

只有时空度规（及其派生量）才允许以背景几何量的身份出现在物理定律的表达式中。

值得注意的是，仅在狭义相对论的框架下，这个“惯性系”是不能被推广的。就比如孪生子悖论：一对孪生子，其中一人静止不动，另一人乘坐飞船出去再回来，这两人会产生一个时间差。这两个参考系一是惯性系，另一不是惯性系，所以它们是不等价的。在广相的框架下，世界线的弯曲（也就是加速度）被体现在了度规上（也就是时空弯曲）。

广义相对论的另一基本假设是等效原理：在引力场中自由下落的无自转参考系与平直时空（无引力场的参考系）局域等价，其中的一部分也就是前面讲到的引力质量与惯性质量相等。爱因斯坦将弱等效原理：这两个参考系内所有力学实验结果应相同，推广到了爱因斯坦等效原理：这两个参考系内的一切（非引力的）实验结果应相同。爱因斯坦使用这个假设推理出了诸如光谱红移、光线弯曲等结论。

爱因斯坦场方程

这两个假设是很基本的，也是看起来很应该有的。但是只有这两个等效假设，并不能完整的描述物理场景。广相想要达到的，是：有质量的物体会使周围的时空弯曲，弯曲时空中的自由物体会沿测地线移动。这句话包含了两点：质量如何引起时空弯曲（场的形成），以及物体如何受弯曲时空影响（运动学）。第一个，我们需要一个场方程来描述。爱因斯坦（当然是猜）出了一个方程，现称爱因斯坦场方程：

（已使用自然单位制，c=4πε0=μ0/4π=ℏ=kB=1）等式左侧的g是时空度规张量，R是里奇张量，也就是时空结构的函数；右侧的T是物质场的能动张量，代表空间内的物质分布。这式子将“源（物质分布）”（右侧）决定“场（时空弯曲）”（左侧）的物理美学体现的淋漓尽致。

但是，这个方程还与像麦克斯韦方程组那种“源”决定“场”的式子有些许区别。麦克斯韦方程组（参见part1的式23）同样是左侧是场，右侧是源，它体现的是“电场的无旋分量由电荷决定，有旋分量由磁场变化率决定；磁场由电流与电场变化率决定”，如果给定了源，也就是等式右侧的电荷和电流分布，等式左侧的电磁场是可以直接求解的。但是爱因斯坦场方程不一样。即使给定物质分布，等式右侧的能动张量Tab仍是与时空背景gab有关的。未知数同时出现在了左侧和右侧，而且它甚至还是高度非线性的二阶微分方程。这导致它的精确解极其稀少。下面的史瓦西解就是它的第一个精确解（你看，第一个解还不是爱因斯坦解出来的。）

场方程的几个精确解

在广义相对论发表后不久，史瓦西（Schwarzschild）求得了爱因斯坦场方程第一个精确解：史瓦西解。史瓦西解是一个描述静态球对称星体外部引力场的解。史瓦西解的线元形式如下：

（此处开始使用几何单位制，即在自然单位制中再要求G=1）度规（ds²）本身的意义可以简单的理解为每一点附近不同方向向量的长度。

在后面以及下一个part将会对史瓦西黑洞做更详细的介绍，这里继续简单介绍一下其他有名的场方程的解。史瓦西度规的外部是真空，不少实际星体带有电荷，其周围的电磁场的能动张量Tab也会产生引力效应。RN度规即是球对称的带电星体外部解：

（列出形式是因为和下一part有关）。进一步放低对称性要求至轴对称，还可以解出克尔-纽曼度规（Kerr-Newman），由于形式复杂就不列在这里了。克尔-纽曼度规描述的即是带自转的带电星体，也就是比较一般的——克尔-纽曼黑洞。

史瓦西黑洞

引力是会使时空弯曲的，但是会弯曲到什么程度呢？和一般的引力又有什么区别呢？我们还是来看史瓦西度规：

仔细看一下就会发现，这个式子是有可能发散的。在r→0以及r→2M的时候，度规的某些分量会趋于无穷大。我们称这些点为奇点（singularity）。奇点的出现一般有两个原因，一是度规本身没什么问题，只是坐标系没选好，这叫坐标奇点，可以通过变换适当的坐标系去除；二是时空本身在这点就有问题，这叫时空奇点。上式的史瓦西解，在r=2M处的奇点是坐标奇点，在r=0处的奇点是时空奇点。事实上，r=2M（史瓦西半径，实际上是个球面，换算至标准单位制就是r=2GM/c²）就是经典黑洞中，光也无法逃出的范围，也就是事件视界：在事件视界内的光信号无法传播至无穷远。

平直时空的球坐标度规是ds²=-dt²+dr²+r²(dθ²+sin²θdφ²)，其中时间项是负的，空间三维是正的。但是在史瓦西度规中，当r<2M在事件视界内时，dt²前面的系数变成了正数，dr²的系数反而变成了负数！这又代表着什么呢？读者可以思考一下，时间和空间的本质区别在哪里呢？

它们的区别就是，时间只能单向流逝，而空间则可以双向。对比一下，在黑洞的事件视界内，外部视角的时间t承担了“空间”的角色，而外部视角的半径r则承担了“时间”的角色，在事件视界内的物体，r只能够单向流逝，只能单向掉入黑洞而无法逃逸。

当然这是定性的认知，我们仍然有定量计算的手段。由于上面提到史瓦西度规在r=2M时有分量趋于无穷大，计算穿过r=2M球面的物体就需要改变一下坐标系了。记得在狭义相对论中一般会用到的时空图与光锥的概念：

未来光锥表示该点可以影响到的时空区域，过去光锥表示可以影响到该点的时空区域。使用时空图可以较为直观的表示时空的性质。对于史瓦西黑洞，可以使用内向Eddington坐标系，如图：

这两族曲线即为内向射入与外向射出的光线。可以看到，在r=2M外部的光锥仍然是正常的，而r=2M内部的光锥则全部偏向了内侧！也就是说，从那里向“外”射出的光线，仍然会受到黑洞的吸引而落入黑洞中心的奇点。

这一篇由于篇幅原因，就先在这里结束，下一篇会继续介绍史瓦西黑洞、克尔-纽曼黑洞附近时空的相关性质，以及这两篇的重点：黑洞热力学三定律。我们将会看到黑洞热力学与传统的热力学之间美妙的相似性，感叹宇宙的神奇之处。

结语

广义相对论适用于大尺度结构，是关于引力的理论，是关于时间与空间的理论，是关于宇宙的理论。古人云：上下四方曰宇，古往今来曰宙。广义相对论为理解我们宇宙的奥妙提供了一把有力的工具。

参考文献：[1]梁灿彬，《微分几何入门与广义相对论》。

附录：上级者向

细心的读者可能看出来了，文中有一些并没太叙述完整的部分，这些部分会涉及到额外的问题。

(1)在牛顿的万有引力定律里，提到了物体在引力场中受力的大小，对应的还有一种产生引力场的强弱的质量，这种主动引力质量和被动引力质量也是本质上不同的两个质量，在万有引力时，由于牛顿第三定律，作用力与反作用力相等，这两个质量相等似乎是显而易见的。但是在广义相对论中，引力并不是一种力，这两者就变成了不同的两个概念。这两者在实验中为何相等，现在还不是很清楚。（参考：质量 - 维基百科，自由的百科全书#cite_note-18）

(2)爱因斯坦等效原理处，叙述为两个参考系内的一切非引力的实验结果应相同。对应还有一种强等效原理，它考虑了参考系里的自引力系统，也就是对参考系里的两个物体之间的万有引力相关的实验，结果也应相同。弱等效原理已被大部分实验证实，广义相对论满足强等效原理，但是其余的引力度规理论有很大可能不满足强等效原理。如果有关强等效原理的实验给出正结果，那么广义相对论可能就是唯一正确的引力理论。

(3)你没看错，结尾就是放了一张白井黑子的图。