【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep13】数字革命：从“一一对应”谈起
叮叮叮，学酥老碧又来跟大家叨叨这本有趣丰富内容详实的数学名著了。
还记得老碧在Ep1的后记跟大家八卦过，许多高中大一的小朋友，常常因为一些“大神”前辈的观点而对这本书存在一些误解——
他们会听说这本书，简单，基础，好读，于是，他们中间许多人可能高中，大一就把这本书刷了草草刷了一遍，解题能力却依然没有提高。甚至老碧认识一些这本书刷完了，还会去问一些特别基础简单计算题的宝宝，真是哭笑不得。
然而事实上，这本书上涉及的内容，习题的质量都是很好的，国内各大知名《数学分析》教材都或多或少受到这本书的影响，如果能把这本书细细地学好，那么《数学分析》能力应该是会十分扎实的才对。
老碧说过，之所以会存在这种误解，原因不外乎：
“
这本书没有大量引入逻辑符号语言，广泛地使用自然语言；
这本书没有涉及太多现代数学的部分，如流形，实变，泛函等等；
例题简单；
说话者是数学专业的尖子生。
但是恰恰这四点是老碧认为这本书读起来很容易卡住的原因：
自然语言容易因为断句或者翻译问题产生歧义，然后失之毫厘谬之千里；
没有涉及现代内容，所以简单？难道不是应该导致：许多用稍微现代点的技巧轻松做出来的题目，用古典的方法感觉很崎岖吗？特别是，用符号一句话说明白的事，硬是硬生生写了一段；
例题并不都很简单，有些读完了这本书还来问我基础题的人，我很奇怪你们是不是读了假书，这本书题目收集真的很全面了，想要消化不算太简单；
（因为老碧只会基础题。）
数学系尖子生，看啥都简单，和我们人民群众没啥关系。”
如果前面几页书我们读得还很愉快，我们即将说的两页书，宝宝们应该就会开始感受到老碧提到的前两个问题了。
上一期我们试着用书上的一个精致的小命题证明了3.49999……=3.5000……，于是我们知道所有实数都可以统一成无穷小数的形式，我们之后会聊，书上是如何用“戴德金分割”的思想验证“无限小数”表达实数的方法的。
（这个方法见于国内各大《数学分析》教材，我们中学的数学学习也用的是这种方式，不过我们一直未从逻辑上进行阐释）。
在此之前，我们先做几点补充：
我们在“有理数分划”中曾经说过，实数的定义，其实就是实现了从“有理数分划”到实数的“一一对应”；为此，在任何一本教材中，都会人为规定，有理数对应的“有理数分划”，要么规定界数属于上组，要么规定属于下组，以实现，任何有理数对应的“有理数分划”是唯一确定的。
而每一个“有理数分划”都对应一个数，我们从“有理数分划”的定义可以直接看出来。
同理，为了验证“无限十进小数”可以表达实数，我们依然要确定“十进小数”与实数实现“一一对应”。
于是，就不得不先提到，“一一对应”的命题的证明——
在数学中是一种重要的题型，最朴素的思路便是，我们要验证两个集合X和Y之间的元素“一一对应”，一般先验证，X中任何一个元素对应的Y中的元素是唯一的，再反过来，证明Y中任何一个元素对应的X中的元素是唯一的就好了。
就好比说，老碧和雪碧是一个班的，于是老碧班里不止老碧一个人，于是老碧和班级之间不是“一一对应”，老碧不开心，就把其他人都烦到转班，退学了，就剩老碧一个人，老碧和班级之间就又是“一一对应”了；
或者，老碧有两只小鸭子，小鸭子的主人是唯一的，就是老碧，但是老碧有不止一只鸭子，那么老碧和鸭子之间也不是“一一对应”，老碧就把小鸭子送一只给老碧妈妈了，这样老碧和小鸭子之间也是“一一对应”了。
这里你肯定不得不感慨，为了实现“一一对应”，老碧还真是丧心病狂，然而我们说，数学研究者普遍比老碧还丧心病狂吗？
毕竟“一一对应”是那么好用的一个知识，尤其是在《代数学》中，当你接触到“同构”的概念之后，你会发现许多艰难的问题可以用这个方式进行转化。感兴趣的宝宝请收看长篇励志脱口秀节目——最最可爱的丘维声爷爷的《高等代数》，非常好看，老碧绝对不骗你！
到这里，聪明的宝宝就会明白，我们要去验证“无限小数”和实数之间有着“一一对应”的关系，那么，我们就得，先去确定，每一个实数对应唯一的“无限小数”，再去确定，每一个“无限小数”对应唯一的实数，实数的定义自然是从“戴德金分割”里来了。
这也是这本教材的展开思路，欲知详情如何，且待下回分解！
注：一个十进小数，即我们小学中学学过的“逢十进一”的小数，任意一个十进小数，都可以表示成关于10^k的多项式的形式，比方说25.54=2*10^1+5*10^0+5*10^(-1)+4*10^(-2)。同理，所谓k进制小数，都可以类似表示，详细的转化方法，我们之后聊到下一本数学名著时详谈，二进制表示在数学某些学科的证明题中非常好用，值得细细聊聊的。
