就 一网友所问 即 棱台体积公式 之 微积分 直接推导
据
祖暅原理
设
棱台
与
等上下底面面积与高
圆台
上下底面面积与高
分别为
S1，S2，h
圆台
上下底面半径
分别为
r1，r2
所在圆锥母线
与
对称轴
所成夹角为β
所在圆锥母线
与
所补圆锥母线
分别为
ρ2，ρ1
有
r1=ρ1sinβ
r2=ρ2sinβ
h=(ρ2-ρ1)cosβ
V棱台
=
V圆台
=
∭dV
=
∫(0，2π)
∫(0，β)
∫(ρ1cosβ/cosθ，ρ2cosβ/cosθ)
ρ²sinθ
dρ
dθ
dφ
=
∫(0，2π)
∫(0，β)
sinθβ³/3 | (ρ1cosβ/cosθ，ρ2cosβ/cosθ)
dθ
dφ
=
∫(0，2π)
∫(0，β)
cos³β(ρ2³-ρ1³)sinθ/(3cos³θ)
dθ
dφ
=
cos³β(ρ2³-ρ1³)/3
∫(0，2π)
∫(0，β)
sinθ/cos³θ
dθ
dφ
=
-cos³β(ρ2³-ρ1³)/3
∫(0，2π)
∫(1，cosβ)
1/cos³θ
dcosθ
dφ
=
cos³β(ρ2³-ρ1³)/6
∫(0，2π)
1/cos²θ| (1，cosβ)
dφ
=
cos³β(ρ2³-ρ1³)(1-cos²β)/(6cos²β)
∫(0，2π)
dφ
=
πcosβ(ρ2³-ρ1³)sin²β/3
=
π(ρ2-ρ1)(ρ2²+ρ1ρ2+ρ1²)sin²βcosβ/3
=
(ρ2-ρ1)cosβ
(πρ2²sin²β+πρ1ρ2sin²β+πρ1²sin²β)/3
=
h
(πr2²+πr1r2+πr1²)/3
=
(S1+√(S1S2）+S2)h/3
得证
ps.
间接推导
详见
