【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章整式

§3-2单项式

1、单项式的概念

【01】看下面的巴些整式：3，，a，－3a²，，  。这些整式，有一个共同的特点，就是没有加减运算。这里虽然有一些“＋”“－”号，但都是性质符号，不是加减法的运算符号。这些整式，叫做单项式；那就是说：没有加减运算的整式叫做单项式。

【02】象整式 3x＋5y 就不是单项式，因为这里有加法运算，象代数式  也不是单项式，因为  不是整式。

2、系数

【03】在代数式 3a 里，3a是 数字因数 3 与字母因数 x 的积；在代数式－5x 里，－5x 是数字因数－5 与字母因数 x 的积；在代数式  里， 是数字因数  与字母部分的因数  的积。我们把数字部分的因数叫做字母部分因数的数字系数，简称系数。

【04】例如：在 3a 里，3 是 a 的系数；在－5x 里，－5 是 x 的系数；在  里， 是  的系数。

【注1】代数式 a 就是 1 与 a 的积，所以 a 的系数是1，同样的在 a²x³ 里，a²x³ 的系数也是1；在－abc 里，abc 的系数是－1，不要把 a 的系数说成是零，也不要把－abc 的系数说成是负号。

【注2】在将来，我们还可以把一个或几个字母作为主要字母，而把其他字母因数也作为系数或系数的一部分，例如我们可以把 x 作为主要字母，在ax里，将 a 看作 x 的系数，在－3a²x³ 里，将－3a² 看作 x³ 的系数；又如我们可以把 x 与 y 作为主要字母，在 3ax²y 里，将 3a 看作x²y 的系数等。所以系数是对特定的字母来说的。在现在，我们还只讲数字的系数。

3、幂

【05】在§1-18里讨论有理数的乘方运算时，我们已讲过底数、指数这些名词了，对于含有字母的式子来说，这些名词仍具有同样的意义。例如 a³ 就叫做 a 的三次方，底数是 a，指数是 3，而 a³ 就是 a·a·a 的简写。a³ 也叫做 a 的三次幂。同样，x⁵ 叫做的五次方或五次幂，这里底数是 x，指数是 5，而 x⁵ 就是 x·x·x·x·x 的简写。一般说来，，这里底数是 a，指数是 n，n 是任意自然数， 读做 a 的 n 次方或 a 的 n 次幂。

【注】a 也是一个幂，叫做 a 的一次幂或一次方，这里指数是 1  。指数是 1 时，不必写出来。反过来说，不写出来的指数就是 1，不要说 a 没有指数，或者说它的指数是 0  。

4、单项式的次数

【06】看单项式－3x⁴，2x³，a²bc，x²y，－5，ax²，，a  。这些单项式里，有的只有个字母，有的有两个字母，有的有三个字母，有的只有数字没有字母；各个字母的指数也有是 1 的，也有是 2 的，也有是 3 的或者是 4 的。我们把一个单项式里各个字母的指数的和叫做这个单项式关于这些字母的次数。例如－3x⁴ 是关于 x 的四次单项式，或者简称四次式；2x³ 是关于 x 的三次单项式；a²bc 是关于字母 a,b,c 的四次单项式（因为这里 a 的指数是 2，b 和 c 的指数各是 1，而它们的指数的和是 2＋1＋1＝4）；x²y 是关于 x 与 y 的四次单项式；ax² 是关于 a 与 x 的三次单项式；a 是关于 a 的一次单项式。单项式－5 与  都只有数字没有字母，叫做零次单项式.。

【注】有时我们只把一个或几个字母作为主要字母，根据这几个字母的指数来计算单项式的次数。例如 ax² 可以看做是关于 x 的二次单项式，而把 a 作为主要字母 x² 的系数，又如 3ax²y 可以看做是关于 x 与 y 的三次单项式，3a 可以当做 x²y 的系数。

5、单项式的整理

【07】单项式的整理，一般包括两个内容：

(ⅰ)排列各因数的前后次序：一个单项式可以包含几个因数，有数字的，也有字母的因为字母表示的也是数，所以可根据乘法交换律，把这些因数的前后次序，互相调换。在习惯上，我们总把数字因数连同性质符号写在最前面，各个字母的前后次序，一般按照拉丁字母的前后次序（也就是拼音字母的次序）排列。

(ⅱ)相同的字母因数，应该用指数表示成一个幂。

例1.整理单项式：(1)a3；(2)b³5a；(3)  。

【解】整理后得：(1)3a〖山注||  原书此处是“3x”，应为误写〗；(2)5ab³；(3)   。

例2.整理单项式：(1)3aaa;(2)－3abababa  。

【分析】根据相同因数可以写成幂的形式，aaa 可以写做 a³  。根据乘法交换律，－3abababa  可以写成－3 aaaabbb，再根据相同因数可以写成幂的形式 aaaa 可以写做 a⁴，bbb 可以写做 b³  。

【解】整理后得：(1)3a³；(2)－3a⁴b³  。

习题3-2

1、在下列代数式中，说明哪些是整式，哪些是分式，哪些是单项式：

2、说出下列各代数式里的系数：

[解法举例：在 3a 里，a 的系数是 3]

3、说出下列代数式里各个字母的指数：

[解法举例：在 5a²b⁴x 里，a 的指数是 2，b 的指数是 4，x 的指数是 1 ]

4、说出下列各单项式的次数：

[解法举例：－5a 是一次单项式。]

5、整理下列各单项式：