三角函数科普大全番外篇：用反函数求导法则来求6个反双曲三角函数的导函数

2023-08-01 21:04 作者:无风云不动云动心如风 0人读过 | 我要投稿

在三角函数科普的第二篇文章中，我们在求6个反双曲三角函数的导数时，是直接利用它们的解析式来算的，本期将用另外一种方法，也就是反函数求导法则，来求解他们的导函数，话不多说，直接切入正题！

一.三个重要的双曲函数公式

1. $(coshx)%5E2-(sinhx)%5E2%3D1$ ，证明方法为 $(coshx)%5E2-(sinhx)%5E2%3D(coshx%2Bsinhx)*(coshx-sinhx)%3De%5Ex*%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5Ex%7D%20%3D1$

2. $(sechx)%5E2%2B(tanhx)%5E2%3D1$ ，证明方法为 $(sechx)%5E2%2B(tanhx)%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(coshx)%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%7B(sinhx)%5E2%7D%7B(coshx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%2B(sinhx)%5E2%7D%7B(coshx)%5E2%7D%3D1$

3. $(cothx)%5E2-(cschx)%5E2%3D1$ ，证明方法为 $(cothx)%5E2-(cschx)%5E2%3D%5Cfrac%7B(coshx)%5E2%7D%7B(sinhx)%5E2%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B(sinhx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B(coshx)%5E2-1%7D%7B(sinhx)%5E2%7D%20%3D1$

以上三个公式，将会在下方用到，更多相关背景知识，可以看我往期文章，我在评论区会放出链接。

二.开启正片

1.反双曲正弦函数 $y%3Darsinhx%3Dln(x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%20)$ 求导

2.反双曲余弦函数 $y%3Darcoshx%3Dln(x%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%20)$ 求导

3.反双曲正切函数 $y%3Dartanhx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20ln%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B1-x%7D%20$ 求导

4.反双曲余切函数 $y%3Darcothx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20ln%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D%20$ 求导

5.反双曲正割函数 $y%3Darsechx%3Dln%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%7Bx%7D%20$ 求导

6.反双曲余割函数求导

$y%3Darcschx%3Dln%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%20%7D%7Bx%7D%20(x%3E0)%0A$ $y%3Darcschx%3Dln%5Cfrac%7B1-%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%20%7D%7Bx%7D%20(x%3C0)$