很水的数学分析144：向量值函数的微分

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1.把微分推广到向量值函数。

①把微分推广到向量值函数时，原增量公式需要改写成更一般的f(x₀+h)–f(x₀)=Ah+r(h)（只不过“真正”函数中恰好前面三项都是数，且r(h)=o(‖h‖)），

其中A是Jacobi矩阵，‖r(h)‖=o(‖h‖)（两个范数不同）

②线性映射——微分

线性映射的矩阵——Jacobi矩阵

③进一步推广到一般的赋范空间（f不一定是向量值函数），有Frechet可微。

2.数学分析把可微转化成线性，然后交给线性代数。

3.向量值函数f在x₀可微当且仅当分量函数都在x₀可微。

4.用定义验证直观感受：线性映射的微分相当于是它本身全增量趋于零，恒等映射的微分的Jacobi矩阵是单位矩阵。

5.Jacobi算子的运算法则。

理解A左乘f的含义（改变函数分量个数），

理解Jacobi算子向量值函数的自变量个数和函数分量个数对Jacobi矩阵行列数的“贡献”。

6.“偏导连续则可微”“可微则连续”推广至向量值函数。

7.向量值函数的偏微分。