2021新高考Ⅰ卷(数学)真题及解析参考
一选择题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,5},则A∩B=
A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}
解析：根据集合的定义，知交集就是在B中选择满足大于-2小于4的数
选择B
2.已知z=2-i,则
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
解析：
，相乘可得2(2-i)(1+i)=-2(i-2)(i+1)=-2(-1-i-2)
选择C
3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2
解析：根据公式πl=2πr，l=2r=2√2
选择B
4.下列区间中，函数f(x)=7sin(x-π/6)单调递增的区间是
A.(0, 0.5π) B.(0.5π, π) C.(π, 1.5π) D.(1.5π, 2π)
解析： sin x的单调递增区间是(-0.5π,0.5π)，(1.5π,2.5π)，那么f(x)的单调递增区间是
((1/6-0.5)π, (1/6+0.5)π)，((1/6+1.5)π, (1/6+2.5)π)
选择A
5.已知F1，F2是椭圆C: x²/9+ y ²/4=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.13 B.12 C.9 D.6
解析： 根据题意，算得椭圆的c为√5，而|MF1|·|MF2|的值是
√[(x-√5)²+y²] √[(x+√5)²+y²]
= √[(x-√5)²+4-4x²/9] √[(x+√5)²+4-4x²/9]
=√(5x²/9-2√5x+9) √(5x²/9+2√5x+9)
=|√5x/3-3| |√5x/3+3|
根据x取值范围在-3到3之间，讨论最大值是9
选择C
6.若tanθ=-2，则
A. -1.2 B. -0.4 C. 0.4 D. 1.2
解析：由于tanθ=-2，可知该角在第四象限或者第二象限，
当在第二象限时，
当在第四象限时，
选择C
7.若过点(a, b)可以作曲线y=e^x的两条切线，则
A. e^b<a B. e^a<b C. 0<a<e^b D. 0<b<e^a
解析：利用特殊值法过点(1,1)可以作y=e^x的两条切线，排除A，B
过点(3,1)也可以作y=e^x的两条切线，排除C
选择D
8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A.甲与丙互相独立 B.甲与丁互相独立
C.乙与丙互相独立 D.丙与丁互相独立
解析：对于丙事件如果两次取出的数字之和是8，那么可能是2+6,3+5,4+4，而如果事件甲出现那么一定不会出现丙，甲与丙是互斥事件，排除A
对于事件乙如果出现，那么可能会出现丙，如果选项C正确，那么同样逻辑关系选项B也正确，所以
选择D
二选择题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x1,x2,…,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn，其中
yi=xi+c (i=1,2,…,n)，c为非零常数，则
A.两组样本数据的样本平均值相同 B.两组样本数据的样本中位数
C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
解析：平均值会相差c排除A，中位数也同样相差c，排除B，由于波动性不变，那么C正确，同理样本极差是最大值与最小值的差，因此，D也正确
选择CD
10.已知O为坐标原点，点P1(cos α, sin α)，P2(cos β, -sin β)，P3(cos(α+β), sin(α+β) )，A(1,0)，则
A.
B.
C.
D.
解析：
A选项，
，正确
B选项，
，错误
C选项，
，正确
D选项，
，错误
选择AC
11.已知点P在圆(x-5)²+(y-5)²=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|=3√2 D.当∠PBA最大时，|PB|=3√2
解析：圆的半径为4，圆心坐标为(5,5)如图
可知直线AB的斜率是-0.5，设PH垂直AB于H，对于选项A，取极值时，AH的斜率为2，且过圆心，PH方程为y=2x-5，与AB联立，可求交点坐标，然后根据两点距离公式知最小值是11/√5- 4，最大值是11/√5+4，A正确，B错误。
过点B做圆的切线，构成∠PBA的最值，当取最大值时，PB²=(5-2)²+25-16=18，CD都正确
选择ACD
12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足
，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则
A.当λ=1时，△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=0.5时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D.当μ=0.5时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
解析：
A选项，由于是正三棱柱，当λ=1时，点P在CC1上，此时AP与B1P的和不是定值，错误
B选项，同理，此时点P在B1C1上，可知B1C1∥平面A1BC，所以体积是定值，正确
C选项，此时当点P在两个端点时，都有A1P⊥BP，因此该选项错误
D.此时，AB1⊥A1B，只有P点在特定位置上才可以垂直，该选项正确
选择BD
三选择题，每小题5分，共20分
13.已知函数f(x)=x³(a·2x-2-x)是偶函数，则a=__________
解析：使f(x)= f(-x)，代入有x³(a·2x-2-x) =-x³(a·2-x-2x)=x³(2x - a·2-x)
填1
14.已知O为坐标原点，抛物线C:y²=2px (p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直， Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，则C的准线方程为__________
解析：令x=0.5p，得y²=p²=PF²，再根据直角三角形关系，知p²=6·0.5p，得出p=3
填x=-1.5
15.函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为__________
解析：根据定义域知x>0，当x≤0.5时
f(x)=1-2x-2lnx，求导得
f’(x)=-2-2/x<0
当x=0.5时取极小值2ln2
当x>0.5时，同理将f求导得f’(x)=2-2/x
x=1时，取最小值，综上
填1
16.某学校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm²，对折两次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，他们的面积之和S1=180dm²，依次类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次那么ΣSk=__________dm²
解析：对折两次可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，那么对折三次可以得到5dm×6dm，2.5dm×12dm，10dm×3dm，20dm×1.5dm，4种规格的图形，那么对折四次可以得到5dm×3dm，2.5dm×6dm，1.25dm×12dm，10dm×1.5dm，20dm×0.75dm
5种规格的图形。
1次：2种规格，120+120=240dm²
2次：3种规格，60+60+60=180dm²
3次：4种规格，30+30+30+30=120dm²
4次：5种规格，15+15+15+15+15=60dm²
那么n次：n+1种规格，Sn=240(n+1)/2^n dm²
填5；240[3-(n+3)/2n]
四解答题，共70分
17.(10分)已知数列{an}满足a1=1，
(1)记bn=a2n，写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式
(2)求{an}的前20项的和
解析：
(1)根据题意知a1=1, a2=2, a3=4, a4=5, a5=7,a6=8, a7=10,…
∴b1=a2=2，b2=a4=5
同理可得b3=a6=8，bn=3n-1
bn=3n-1的证明：
当n=1时，成立
假设当n=k时成立，即bk=3k-1
当n=k+1时有，bk+1=a2k+2=a2k+1+1
∵a2k+1= a2k+2
∴bk+1= a2k+3=bk+3 =3k+2
bk+1=3(k+1)-1
即当n=k+1时亦成立，证毕。
∴bn=3n-1
(2)
a1+a2+…+a20
= a2+a4+…+a20+(a1+a3+…+a19)
= a2+a4+…+a20+[1+(a2+2)+(a4+2)+…+(a18+2)]
= 1+2(a2+a4+…+a18)+a20+18
=2(b1+b2+…+b9)+b10+19
=2·(2+26)9/2+48
=300
18.(12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
解析：
(1)根据题意X的分布列如下：
X=100 | X=20 | X=0
0.48 | 0.32 | 0.2
(2)根据(1)，先做A类题的记分期望是48+6.4+0=54.4
同理，如果先做B类题，那么X分布列如下：
X=100 | X=80 | X=0
0.48 | 0.12 | 0.4
那么此时期望是48+9.6+0=57.6
∴应选择先回答B类问题
19.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b²=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC= a sinC.
(1)证明：BD=b；
(2)若AD=2DC，求cos∠ABC
解析：
(1)
bBD = ac，已知b²=ac
∴bBD = b²
BD = b
(2) 设cos∠ABC=x，由余弦定理得
设∠ABD=α，∠CBD=β，在△ABD中
设c/a=k有
或
由于余弦值小于1，所以cos∠ABC=7/12
20.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD,O为BD的中点
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积
解析：
(1)∵AB=AD,O为BD的中点
∴AO⊥BD
又∵平面ABD⊥平面BCD，AO在平面ABD内，CD在平面BCD内
∴AO⊥平面BCD，AO⊥CD
(2)过点E作EH⊥BD于H，过H作HF⊥BC于F，连接EF
AO⊥平面BCD，EH⊥BD，BD ⊆平面BCD
⇒ED⊥平面BCD
HF⊥BC，二面角E-BC-D的大小为45°，
DE=2EA，△OCD是边长为1的等边三角形，O为BD的中点
⇒HF=EH=4/3/(4/3+2/3)=2/3，AO=2/3·(3/2)=1，S△BCD=0.5√3
⇒三棱锥A-BCD的体积是√3/6
21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-√17, 0)，F2(√17, 0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2，记M的轨迹为C
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x=0.5上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
解析：
(1)根据条件，可知C的图像是双曲线
2a=2, a=1
∴C的方程为
(2)设直线TB斜率为m，直线TQ斜率为n，而
TB方程为 y=mx+l
TQ方程为 y=nx+t，过定点T，设
0.5n+t=0.5m+l=k
t=k- 0.5n
l=k- 0.5m
设A点坐标为(x1, y1)，B点坐标为(x2, y2)
|TA|·|TB|=(x1- 0.5)(x2- 0.5)+ (y1- k)( y2- k)
=0.25-0.5(x1+ x2)+ x1x2+k²-(y1+ y2)k+ y1y2
y1+y2=2l+m(x1+ x2)
y1y2=l²+m(x1+ x2)l+m²x1x2
将TB方程代入双曲线
同理
∴
(m²+1)(n²-16)= (n²+1)(m²-16)
n²-16m²=m²-16n²
17(m²-n²)=0
根据题意m≠n，那么m+n=0
∴斜率之和为0
22.(12分)已知函数函数f(x)=x(1-lnx)
(1)讨论f(x)的单调性
(2)设a, b为两个不相等的正数，且blna - alnb=a- b，证明：2<1/a+1/b<e
解析：(1)求f的导数，得
f’(x)= 1- lnx- 1 = -lnx
当0<x<1时，f单调增
当 1≤x，f单调减
(2)
可知1/a与1/b是方程-xlnx+x=f(x)=k的两个根
欲证2<1/a+1/b<e
只要证明2<x1+x2<e即可
根据(1)所讨论，
只有当k>0时才存在a, b
如果存在a, b，由于a≠b，
根据(1)可知，f单调增区间长度小于单调减区间长度
那么x1, x2分别在x=1的两侧，直线x=0.5(x1+x2)在x=1的右侧，即
0.5(x1+x2)>1
x1+x2>2
令f(x)=0有x2=e
同理可知，e-x1>x2即x1+x2<e
证毕。
