【高等数学第十二讲】函数的微分

第十二章 一元函数的微分

一、知识点

1. 微分产生的背景：
   

   01:01

   
2. 当自变量x有微小变化时，求y=f(x)的变化量Δy=f(x+Δx)-f(x). 但对于复杂函数来说，直接计算Δy是困难的=>于是想将Δy表示称Δx的线性函数。
3. 从例子中引出线性主部以及微分的概念：
   

   04:00

   
4. 微分的思想：线性化，或化曲为直。
5. 微分的概念：
   

   08:02

   
6. 设y=f(x)在x0的某邻域内有定义，若函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，可以表示成Δy=AΔx+o(Δx),（A是与Δx无关的常数）Δx->0，我们就称y=f(x)在x0这一点处可微。称Δy的线性主部AΔx为函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy|(x=x0),df(x)|(x=x0)。即dy=AΔx,习惯上写作Adx.
7. 可微与可导的关系：
   

   15:12

   
8. 可导等价于可微（一元函数）
9. 看到Δy=AΔx+o(Δx)就说明函数在某范围可微。什么范围？看题中条件。如果是在x0点的邻域内式子成立，那么就是y=f(x)在x0处可微；如果是在某区间内式子成立，那么就是y=f(x)在某区间内可微。
10. 其中，当式子是在x0点的邻域内式子成立时，式子中的A即为f'(x0)
11. 若f(x)可导，则dy=df(x)=f'(x)dx
12. 微分的几何意义：
    

    38:59

    
13. 化曲为直
14. 见图1：当自变量变化量Δx非常微小时，我们可以用dy近似替代Δy.
15. 可微与连续性的关系：
    

    47:41

    
16. 可微<=>可导=>连续
17. 可微不一定是连续可微，（对应f'(x)存在说明f(x)可导，但f'(x)不一定连续）
    

    48:47

    
18. 微分的计算：
    

    01:01:05

    
19. 注意题中要求的是dy还是导数，如果是dy结果中不要忘了加dx!!!

图1：

二、证明

1. 证明“在一元函数中，可导等价于可微”：
   

   15:59

   

三、计算

1. 考察微分的概念：
   

   24:41

   
2. 考察导数与微分的关系：
   

   28:09

   
   （多看几遍）
3. 第一次做的时候的疑问：求出y'，知道y(0)的值，求y(x)，那必然要求原函数，但y'里面既有x又有y怎么求？——这是微分方程那一章的知识（忘光了）
4. 考察微分的概念（Δy与dy）：
   

   35:24

   
5. 本题纠正：可微表明可导，可导则dy/dx不可能是无穷。
6. 考察微分几何意义：
   

   44:53

   
7. 第一眼看不知道在考啥：
   

   52:18

   
   （多看几遍）
8. 抽象函数经典方法：赋值。
9. 常用结论：
   

   58:39

   
10. limf(x)=A => lim|f(x)|=|A|,反之未必对
11. limf(x)=0 <=> lim|f(x)|=0
12. 练习一下取对和取指：
    

    01:07:38