集合论习题

      得益于Cantor连续统假设命题（），以下这样一个论断是十分平凡的：

    （如果命题不成立，那么所有的集合都有势（都是可列集），就可以将打到中去，与其不可列产生矛盾。）

      如果不依赖这一假设，我们就需要构造双射，将未知的集合与我们已知势的集合相对应。

      首先，由于的势为，而的势为，所以能找到上述一一映射将无限维单位正方体映到。换句话说，与“形式小数”形成了对应。

      接下来我们做一个反证假设：所有的的势均不是，那么这对于我们找到的形成了怎样的附加约束呢？

       一个简单的观察是必须存在 使得     中不含对应于的点。

       原因在于如果中的点的第一个小数位全体为，那么通过“投影”操作（映到到其第一个小数位）知道有单射从打到，另一方面由于势为，有与的双射，于是就有单射从打到，那么的势就是了，这和假设矛盾。

      与此同理我们知道对于任何的正整数  必须存在 使得 中不含对应于的点。

     那么类似不可列的证明，取 但他不对应于任何，这和是双射产生了矛盾！

     因此必然有其中的某个的势为。