【种花家务·代数】2-3-12本章复习（一次方程组）

2023-12-07 17:40 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章一次方程组

本章提要

1、几个重要概念

二元一次方程；二元一次方程组；三元一次方程；三元一次方程组；分式方程组。

2、一次方程组的两种解法

(1)代入消元法；

(2)加减消元法。

3、二元一次方程组

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Da_1x%2Bb_1y%3Dc_1%2C%5C%5Ca_2x%2Bb_2y%3Dc_2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ （a₁，a₂，b₁，b₂ 都不等于零）的解的三种情况：

(1)当 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%5Cneq%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D$ 时，方程组有一组解 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7Bc_1b_2-c_2b_1%7D%7Ba_1b_2-c_2b_1%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7Ba_1c_2-a_2c_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D$

(2)当 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D%5Cneq%5Cfrac%7Bc_%7B1%7D%7D%7Bc_%7B2%7D%7D$ 时，方程组没有解；

(3)当 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7Bb_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bc_%7B1%7D%7D%7Bc_%7B2%7D%7D$ 时，方程组有无数多组解。

4、分式方程组的解法

(1)一般方法：去分母，把原方程组中的各个分式方程变成整式方程，求出解后再检验；

(2)换元法。

复习题三

解下列各二元一次方程组(1~6)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.1.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx(y%2B1)-y(x-1)%3D8%2C%7D%5C%5C%7By%3Dx-2%2C%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2x-3y%2B1%7D2%2B%5Cdfrac%7B3x-2y-3%7D3%3D1%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%2B2y%2B6%7D4-%5Cdfrac%7B4x%2B2y-2%7D5%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%263.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2x%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B3y%7D%7B4%7D%3D%5Cdfrac%7B3x-2y%7D%7B2%7D%2B1%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B3x%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B4y%7D%7B3%7D%3D%5Cdfrac%7B3x%2B4y%7D%7B6%7D-1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.4.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D(x%2B2)%5E2%2B(y-3)%5E2%3Dx%5E2%2By%5E2%2C%5C%5C(x-3)%5E2-(y%2B2)%5E2%3Dx%5E2-y%5E2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B15%7D%3D%5Cdfrac%7By-1%7D%7By-9%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx-3%7Dx%3D%5Cdfrac%7By%2B6%7D%7By%2B9%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%2By%7D%2B%5Cdfrac%7B5%7D%7Bx-y%7D%3D18%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B9%7D%7Bx%2By%7D-%5Cdfrac%7B10%7D%7By-x%7D%3D66.%5Cend%7Bcases%7D%0A%0A%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：把 y－x 变成－(x－y)]

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D2.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D4%2C%5C%5Cy%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D2%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B11%7D%7B26%7D%2C%5C%5Cy%3D1%5Cdfrac%7B23%7D%7B26%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D%0A5.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D7%2C%5C%5Cy%3D-2%3B%5Cend%7Bcases%7D6.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cy%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

7、解下列关于 x，y 的二元一次方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.(1)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7Bax%2Bby%3Da%5E%7B2%7D%2B2a%2Bb%5E%7B2%7D%2C%7D%5C%5C%7Bbx%2Bay%3Da%5E%7B2%7D%2B2b%2Bb%5E%7B2%7D%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.(a%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D%5Cneq0)%3B%5C%5C%0A%26%26(2)%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cleft(%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bb%7D%5Cright)x%2B%5Cleft(%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bb%7D%5Cright)y%3D4%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7Ba%2Bb%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7Ba-b%7D%3D2%5Cend%7Bcases%7D%5Cquad(a%3Eb%3E0)%3B%5C%5C%0A%26%26(3)%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7Bb%7D%3D1%2Bx%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bb%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7Ba%7D%3D1%2By%5Cend%7Bcases%7D%5Bb%5E2(1-a%5E2)-a%5E2%2B0%5D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall(1)%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2%2B2(a%2Bb)%7D%7Ba%2Bb%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7Ba%2Bb%7D%2C%5Cend%7Bcases%7D(2)%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Da%2Bb%2C%5C%5Cy%3Da-b%2C%26%5Cend%7Bcases%7Dx%3Dy%3D%5Cfrac%7Bab%7D%7Ba%2Bb-ab%7D%3B$

解下列各三元一次方程组(8~11)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%268.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%2Bz%3D6%2C%5C%5Cy%3Az%3D2%3A3%2C%5C%5C3x%3Dx.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%269.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D8%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7By%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D10%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D2%2C%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2610.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%20x%7By%2B1%7D%3D1%2C%5C%5C%5Cdfrac%20y%7Bx%2B1%7D%3D%5Cdfrac14%2C%5C%5C%5Cdfrac%20x%7Bx%2B1%7D%3D1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2611.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%2B1%7D%7By%2B%5Cbar%7Bx%7D%7D%3D2%2C%5C%5C%5Cdfrac%7By-2%7D%7B2x-z%7D%3D4%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx-1%7D%7B4x%2By%7D%3D1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall8.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2%2C%5C%5Cz%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D9.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cz%3D1%3B%5Cend%7Bcases%7D10.%5Cquad%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D1%2C%5C%5Cz%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D11%3A%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D-2%2C%5C%5Cz%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D$

12、解下列关于 x，y，z 的三元一次方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D3m%2C%5C%5Cx%2Bz%3D4m%2C%5C%5Cy%2Bz%3D5m%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%26%26(2)%5Cbegin%7Bcases%7Dx-5y-3z%3Da%2C%5C%5C3x%2B5y-z%3Db%2C%5C%5C3y-x%2B5z%3Dc.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall(1)%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dm%2C%5C%5Cy%3D2m%2C%5C%5Cx%3D3m%2C%5Cend%7Bcases%7D(2)%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B14%7D(7a%2B4b%2B5c)%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B28%7D(-7a%2Bb-4c)%2C%5C%5Cx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B28%7D(7a%2Bb%2B10c)%3B%5Cend%7Bcases%7D$

13、一个工厂去年的总产值比总支出多 500 万元，今年的总产值比去年增加 15%，总支出节约 10%，因此总产值比总支出多 950 万元。求去年的总产值和总支出。【产值2000万元，支出1500万元】

14、从某人民公社到城市，要先走坡道后走平路。一个通讯员骑自行车以每小时 12 公里的速度下坡，然后以每小时 9 公里的速度通过平路，到达城市共用 55 分钟。他回来的时候，以每小时 8 公里的速度通过平路，然后以每小时 4 公里的速度上坡，回到公社就用了 $%5Cscriptsize1%5Cfrac12$ 小时。问从该人民公社到城市有多少公里？[提示：先要分别求出坡道和平路各有多少公里]【9公里】

15、甲、乙两仓库共存粮 95 吨，现在从甲仓库运出它的存粮的 $%5Cscriptsize%5Cfrac23$ ，从乙仓库运出它的存粮的 40%，那末乙仓库所余的粮食是甲仓库的 2 倍。甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？【甲仓45吨，乙仓50吨】

16、A，B 两城的距离是 50 公里.甲乘自行车从 A 往 B，出发 1 小时 30 分钟后，乙乘摩托车也从 A 出发往 B 。已知乙的速度是甲的速度的 2.5 倍，并且乙比甲早到 1 小时，求各人的速度。【甲12公里/时，乙30公里/时】

17、甲种铁矿石含铁的百分数是乙种铁矿石的 1.5 倍，甲种铁矿石 5 份和乙种铁矿石 3 份混合，就含铁 52.5% 。求甲、乙两种矿石含铁的百分数。【甲种60%，乙种40%】

18、一只轮船在一条江里顺流航行 100 公里，逆流航行 64 公里，共用 9 小时。如果逆流航行 80 公里，顺流航行 80 公里，那末所需要的时间也是 9 小时。求轮船在静水里的速度和水流速度。【静水18公里/时，水流2公里/时】

19、代数式 ax＋by，在 x＝5，y＝2 的时候，它的值是 7；在 x＝8，y＝5 的时侯，它的值是 4 。求这个代数式。【3x－4y】

20、代数式 ax²＋bx＋c，在 x＝－1，x＝3，x＝1/2 的时候，它的值分别是 10，14，4 。求这个代数式。【2x²－3x＋5】

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复习题三