1.4.1 直角坐标表示

对于任意的曲线运动，采用自然坐标系时，其加速度也可以分解为法向加速度和切向加速度。

当运动时间无限小时，曲线运动可以看成圆周运动。对应的圆叫做密切圆，也称曲率圆，其圆心称为曲率中心，其半径称为曲率半径，用表示。下面我们来求解。

数学方法

求A点曲率半径，需要先确定曲率中心，方法与求瞬心类似，分别作A和相邻B点切线的垂线，交点即为曲率中心。有

在直角坐标系中，曲线表达式为：

则，

故

另外，由于

有

故

此即曲线的曲率半径公式。比如抛物线上任一点处的曲率半径：

物理方法

当我们得知物体在某点的速度及曲率半径之后，我们可以求得物体在该处的法向加速度：

相反，如果我们知道物体在某点的速度和法向加速度，也可以求得轨迹在该点的曲率半径。这里的运动我们可以自己构造。

求抛物线上任一点曲率半径。

我们构造一个轨迹为抛物线的运动，比如初速度为0的平抛运动。向下为y正方向，其轨迹方程：

对比得：

在任一点P，其速度

故

又有法向加速度

故曲率半径

与直接代公式所得结果相同。

了解曲率半径的定义之后，相关的问题我们就可以求解了：

一质点在半径为R的圆柱表面等螺距螺旋线上作等速率运动，已知此螺旋线的曲率半径为，质点在垂直于轴平面内的投影的运动周期为T，求质点作此螺旋线运动中沿轴方向的分速度为多大?

如图，A点沿等距螺旋线运动，垂直轴平面上的投影为B，轴上的投影为C，A点的运动可以分解为沿轴的匀速直线运动和垂直轴的匀速圆周运动。

定义"//"为轴向，“”为垂直轴向。有

其中，又因为

故

因为

故

此时螺旋线的螺距h也可以由下式求得：

1.4.2 极坐标系

我们在平面内取一定点O，称为极点，从该点引出一条射线Ox，称为极轴。这样平面上任一点P的位置都可以由OP的长度r以及Ox到OP旋转的角度表示。其中r称为P点的极径，称为P点的极角。

极坐标系的单位矢量为和，沿径向向外，沿横向逆时针。这两个单位矢量随物体的运动而转动，转动角速度为.

故极坐标系中任一点的位置可以表示为

对应速度

即

(见矢量运算)其中第一项为径向速度，第二项为横向速度。

其加速度

即

当物体绕固定点转动时，我们用极坐标分析更方便一点。

一只狐狸沿半径为R的圆形岛边缘以速率v匀速率奔跑，一只猎犬以相同的速率v从圆形岛中心O出发追击狐狸。设猎犬在追击过程中狐狸、猎犬和圆心O三者始终在同一直线上。求猎犬应沿什么轨道追击？在何处可以追上狐狸？

我们建立极坐标系，三者始终共线，说明猎狗和狐狸运动的角速度相同，均为

故猎狗的横向速度

径向速度

故

分离变量，代入t=0,r=0解得

即

这是一个直径为R的圆，在圆形岛的1/4圆周处追上狐狸。

1.4.3 极坐标表示

数学方法

由定义得知极坐标和直角坐标之间的关系：

故

代入直角坐标系中的曲率半径公式得：

上面是曲率半径的参数方程形式，代入

得

当然，如果用\rho=\dfrac{ds}{d\theta}的定义来推导，也能得到相同的结果。

物理方法

极坐标中物体的速度，加速度分别为：

其中v方向为切向，代入

有

如图，切向与横向的夹角满足

代入法向加速度

以及

得

故

阿基米德螺线的极坐标系方程为r=aθ，试求它的曲率半径分布ρ∼r.

可以把刚刚物理的方法重新代入推导一遍。如果构造一个匀速转动，会使得过程更加简单。

或直接代入公式得：

1.4.4 练习

已知圆柱的斜截面为椭圆，求椭圆四个顶点处的曲率半径。椭圆两对称轴长度分别为2a,2b(a>b).

答案：.

一半径为R的轮子在水平面上以角速度\omega做纯滚动，研究轮子边缘一点的轨迹，求轨迹曲率半径的最大值。

答案：4R.