最值方法梳理！将军饮马+胡不归+瓜豆+隐圆！

这么用心的笔记，不值得三连吗

将军饮马及衍生

点在线上动，求线段和最值

关键在于作对称

模型1

作对称线段转化，两点线段最短

A,B',P共线时PA+PB最小，即AB'

变式

平移BM转化，出现模型

模型2

P沿OA,OB对称转化

P',C,D,P''共线时▲PCD周长最小，即P'P''

模型3

P沿OB对称得P'，P'C⊥OA时PD+CD最小，即P'C

模型4

B沿l对称得B'

A,B',P共线时|PA-PB|最大，即AB'

例题

P沿y轴对称，N沿x轴对称，得P1,N1，且坐标可求

P1,F,E,N1共线最短

求解析式，算E,F坐标

系数不唯一，分别提取4，3，由AQ=3PQ知提取4更方便，转化为4(AQ+DQ)

找Q的轨迹，平行BC的线段MN（平行线分线段成比例）

根据模型1求最值

胡不归型最值

一点在线段上动，求由系数的线段和最小

消系数，使用将军饮马

系数通常<1，>1提取

b/a看作正弦值，构造直角三角形将有系数线段转化为直角边长

例题

瓜豆原理(主从联动)

种瓜得瓜，种豆得豆

条件：1.两动点与定点夹角为定值

2.两动点与定点的线段比为定值

直线型

绿三角形相似

AA'与BB'夹角为α

圆型

红三角形相似

例题

求Q的运动轨迹，符合瓜豆，P在BC两端点Q在两端点，求出Q的运动轨迹，便可求最值

符合瓜豆，E的轨迹为圆，则F轨迹也为圆，求圆心G

结合瓜豆结论张角相等求圆心G，∠DCG=60°，G在AC上，相似，求出具体位置，即AC靠近A的三等分点

F在DG与圆的交点时DF最小

隐圆

定点定长

B为定点，BD为定长，D在以B为圆心BD为半径的圆上

G为中点想中位线取BC中点O

则可得G在以O为圆心OG(即1/2BD)为半径的圆上

画出G轨迹

G到AB垂线经过O点距离最大

折前折后不变EF为定值，B'在以E为圆心BE为半径的圆上，计算得出半径为根号10

EG为EF旋转得来，

B'，G，E共线B'G最小

A，G重合，EG最大，B'G最小

定弦定角

∠ADM=∠BAP，∠BAP+∠DAM=90°,

∠ADM+∠DAM=90°得出∠AMD=90°

AD为定弦

取P在BC两端点，可知M轨迹(实线部分)

O,M,B共线，BM最小，即OB-OM

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