【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第九章物体的平衡

【山话||  本篇专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；而老教材中的重量单位公斤，如今是用力单位牛顿表示，而如今的力是不使用公斤为单位的】

§9-5平行力的合成

【01】平行力的作用线不交于一点，因而不能用平行四边形法则来求得它们的合力时，那么，要用什么方法来求出它们的合力呢？我们可以从平行力平衡的道理出发来讨论这个问题。

【02】图9·21表示一根直棒AB在三个平行力 P₁、P₂ 和P₃的作用下处于平衡状态。此时，三个力中的任何一个称为其余两个力的平衡力。意思就是说，三个力中的任何一个与其余两个力平衡；或者说，三个力中的任何一个与其余两个力的合力平衡。譬如说 P₃是 P₁ 和 P₂ 的平衡力，意思即 P₃ 与P₁ 和 P₂ 的合力平衡；又譬如说，P₁ 是 P₃ 和 P₂ 的平衡力，意思即 P₁ 与 P₃ 和 P₂的合力平衡。

【03】假设 P₁ 和 P₂ 的合力为 R，由于它与平衡力 P₃ 平衡，所以它们的大小相等、方向相反，并且位于同一直线上，按照平行力平衡的第一个条件，合力等于零，得出P₃－P₁－P₂ = 0，即平衡力的大小P₃ = P₁＋P₂  。

【04】因为合力 R 和平衡力 P₃的大小相等，所以合力的大小 R = P₁＋P₂  。

【05】从图上可以看出，合力 R 的方向与 P₁ 和 P₂ 的方向相同。所以我们说：两个同向平行力的合力仍与两个力平行，它的大小等于两个力之和，方向与两个力相同。

【06】假设 P₂ 和 P₃ 的合力为 Q（图上没有画出），由于它与平衡力 P₁ 平衡，应用同样的方法可以求得合力的大小 Q = P₃－P₂  。

【07】从图上还可以看出，合力 Q 的方向与 P₁ 相反，即与 P₃ 相同。所以我们说：两个反向平行力的合力仍与两个力平行，它的大小等于两个力之差，方向与较大的一个力相同。

【08】知道了合力的大小和方向后，还要求出合力的作用点。因为合力和平衡力位于同一直线上，所以合力的作用点就是平衡力的作用点。拿图9·21所示的例子来说，P₁ 和 P₂ 的合力 R 的作用点就是平衡力 P₃ 的作用点c，P₂ 和 P₃ 的合力 Q 的作用点就是平衡力 P₁ 的作用点a  。取转轴穿过A点与平行力异面垂直，按照平行力平衡的第二个条件，总力矩等于零，得出

【09】如果要求出 P₁ 和 P₂ 的合力R的作用点c，就用R代替(1)式中的 P₃，移项后得出

【10】因而求得合力 R 的作用点 c 离开转轴 A 的距离；

【11】如果要求出 P₂ 和 P₃ 的合力 Q 的作用点 a，就用 Q 代替(1)式中的 P₁，移项后得出

【12】因而求得合力 Q 的作用点 a 离开转轴A的距离。【山注||  原教材此处P₂与Ab之间省略了×号，我因完美主义倾向又给加上了】

【13】仔细观察一下等式(2)和等式(3)，就可以看出：等号左侧所代表的是合力对A轴的力矩，等号右侧所代表的是两个分力对A轴的总力矩。这种合力矩和总力矩相等的关系，不仅对A轴成立，而且对任何一个与平行力异面垂直的轴也成立。所以我们说：平行力对任何一个异面垂直轴的总力矩等于它们的合力对同一个轴的力矩。这一关系叫做平行力的力矩原理，在合力不等于零的情况下普遍适用，并且不仅适用于两个平行力，还适用于三个或三个以上的平行力。

【14】应用力矩原理列出方程时，必须注意各个力矩的正、负符号（顺时针为正，逆时针为负），而不必考虑力的正、负符号。

【15】综合以上的讨论，我们提出如下的有关平行力合成的法则：

【16】(1)两个同向平行力的合力仍与两力平行，它的大小等于两力之和，方向与两力相同。

【17】(2)两个反向平行力的合力仍与两力平行，它的大小等于两力之差，方向与较大的力相同。

【18】(3)三个或三个以上平行力的合力仍与它们平行，它的大小等于它们的代数和，方向由代数和的正、负号决定（预先规定某一方向为正，相反的方向为负）。

【19】(4)平行力合力的作用点可以根据平行力的力矩原理来求得，即平行力对任何一个异面垂直轴的总力矩等于合力对同一个轴的力矩。

例6.将重量为 P₁ = 900克、P₂ = 600克和 P₃ = 500克的三个物体依次悬挂在米尺的左端、中点和右端，如图9·22所示。求合力R的大小和作用点。

【解】取向下的方向为正，求得合力的大小 R = P₁＋P₂＋P₃ = 900＋600＋500 = 2000克。

        设合力B的作用点为 D，取转轴通过 A 点和平行力异面垂直，按照力矩原理得出

        求得，即合力 R 的作用点 D 距离 A 端40厘米。

例7.在例6中的米尺上加一根绳子，系在距离 A 端20厘米处的 D 点，用1000克的力 F 向上拉。求合力R的大小和作用点。

【解】根据题意作图（图9·23），表示米尺受力的情况。取向下为正、向上为负，求得合力的大小R = P₁＋P₂＋P₃－F = 900＋600＋500－1000=1000克。

        设合力的作用点为 E，取转轴穿过 A端与纸面垂直，按照力矩原理得出

        求得，即合力 R 的作用点 E 距离 A 端60厘米。

习题9-5

1、有两个方向相同的平行力 P₁ 和 P₂，P₁ = 4公斤，P₂ = 5公斤，同时作用在一个物体上，两个作用点的距离A₁A₂ = 36厘米。求它们的合力。【9公斤，合力距离 P₁ 的作用点A₁ 20厘米，方向和原来相同】

2、一个物体受到两个方向相同的平行力 P₁ 和 P₂ 的作用，P₁ = 5公斤，P₂ = 7公斤，合力的作用点 O 和 P₁ 的作用点 A₁ 之间的距离是35厘米。求合力的大小以及 P₁ 和 P₂ 的作用点之间的距离 A₁A₂  。【12公斤，A₁A₂ = 60厘米】

3、有甲、乙两人，用一根3米长的木棒抬一筐土，如果使甲所担负的重量等于乙的2倍，问应该把这一筐土悬挂在棒的哪一点上？【离甲1米】

4、在长100厘米的一根棒上作用着三个同向平行力。作用在棒左端的力是2公斤，作用在中点的力是3公斤，作用在棒右端的力是9公斤。求它们的合力。【14公斤，作用在离右端25厘米处，方向和原来相同】

5、有甲、乙、丙三人以及3米长和2米长扁担各一根。如果三人共同挑一重物，应该怎样才能使每人肩负之重相等？试用简图说明。

6、一根轻的棒 AB 长2米，上有四个共面平行力，如附图所示。求其合力和这四个力的平衡力。【800克，向下，作用点离 A 127.5厘米，平衡力和合力相反】