几类特殊递推数列的矩阵算法(前篇)

2023-08-08 11:49 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

前言

搁置了许久，终于回来更新以兑现前周立下的flag了。

在学习数列时，我们会遇到 $a_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0$ 这种递推式，其中一种算法是用特征根，而特征根之前做过一期专栏写了个人的奇妙理解方法，感兴趣的可以参考：

而这期专栏，我们可以换种视角，从线性代数的角度来解决。

另外，在做一些数列的题中难免会遇到像 $a_%7Bn%2B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%7D%5CRightarrow%20T%3D6$ ， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%2Ba_n%7D%7B1-a_n%7D%5CRightarrow%20T%3D4%20$ 这种恶心的数列。答案是通过"暴力"反复迭代得出的周期，不禁让人摸不着头脑！

"这谁能想到啊？"[恼]

那么命题人的心机何在呢？今儿就来一探究竟~

另外，此篇专栏会涉及到不少矩阵运算的知识，萌新可以先参考3b1b的视频讲解：

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集

此篇文章不针对应试，而是给数学爱好者们拓展下思路

整式的线性递推

先来讲讲其概念，所谓线性递推，也即 $a_%7Bn%2Bk%7D%20%3D%5Ctext%7B~%7Da_%7Bn%2Bk-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Da_%7Bn%2Bk-2%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Da_n$ (~表系数)形式，这里的

$a_%7Bn%2Bk%7D%2Ca_%7Bn%2Bk-1%7D%2Ca_%7Bn%2Bk-2%7D%2C...%2Ca_n$ 次数均为1

比如 $a_%7Bn%2B2%7D%3D3a_%7Bn%2B1%7D%2B4a_n$ 为线性递推，而像 $a_%7Bn%2B2%7D%3D3%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Ba%5E2_%7Bn%2B1%7D%7D%7D%20%2B4a_n%2Ca_%7Bn%2B2%7D%3D3a_%7Bn%2B1%7D%2B4%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Ba_n%5E3%7D%7D%20$ 这种有次数不为1的就不是线性递推了

再来引入矩阵表示式以便良好地衔接

对于线性方程组，如： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax_2%3D3x_1%2B2y_1%5C%5C%0Ay_2%3D-x_1%2B4y_1%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

我们想更直观地表示 $(x_2%2Cy_2)$ 与 $(x_1%2Cy_1)$ 的映射关系，可将其化为矩阵形式：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%0Ay_2%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%203%20%262%20%5C%5C%0A-1%20%20%264%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax_1%20%5C%5C%0Ay_1%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

几何意义上，即向量 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax_2%20%5C%5C%0Ay_2%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 由向量 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax_1%20%5C%5C%0Ay_1%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 作线性变换 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%203%20%262%20%5C%5C%0A-1%20%20%264%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 得到，其中矩阵 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%203%20%262%20%5C%5C%0A-1%20%20%264%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 就类似于函数(function)，只不过函数 $f(x)$ 的功能是将一个x映射为一个y，而矩阵的功能则是将一个向量映射为另一个向量。由于向量起点均默认于原点，故也可视为将一个坐标(向量终点)映射为另一个坐标

先来看一道例题：已知 $a_1%3D1%2Ca_2%3D1%2Ca_%7Bn%2B2%7D%3D5a_%7Bn%2B1%7D-6a_n$ ，求通项公式？

由于笔者能力暂有限，想不到更好地衔接铺垫了，所以提前剧透(

有了上述的铺垫，如果我们能将递推式化为 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0AA%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 该多好！

为什么好呢？因为这样就有： $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B3%7D%5C%5C%0Aa_%7B2%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0AA%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B2%7D%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ， $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B4%7D%5C%5C%0Aa_%7B3%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0AA%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B3%7D%5C%5C%0Aa_%7B2%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

我们便惊奇地发现，这运算不就和等比数列很相近么？

于是得到 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0AA%5E%7Bn%7D%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B2%7D%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

因此，要求 $a_%7Bn%2B1%7D$ ，只需对初值构成的向量 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B2%7D%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 作n次矩阵A的变换即可

而我们要求 $a_%7Bn%7D$ ，那么就需作n-1次矩阵A的变换

回到题目，先选取已知递推式，再选取另一条式子 $a_%7Bn%2B1%7D%3D1a_%7Bn%2B1%7D%2B0a_n$

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%3D5a_%7Bn%2B1%7D-6a_n%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%3D1a_%7Bn%2B1%7D%2B0%20a_n%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

写成矩阵形式，即：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

于是可形成递推：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E2%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn-1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E3%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn-1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn-2%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Ccdots%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

则

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A1%20%5C%5C%0A1%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

下面计算 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%20-6%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D$

对角化后，得：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%205%20%26%206%5C%5C%0A1%20%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A2%20%20%263%20%5C%5C%0A%201%20%261%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%202%20%26%200%5C%5C%0A%200%20%263%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A-1%20%20%26%203%5C%5C%0A%201%20%26-2%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

代入化简得：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_n%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A2%5E%7Bn%2B1%7D-3%5En%20%5C%5C%0A2%5En-3%5E%7Bn-1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

即得： $%5Cboxed%7Ba_n%3D2%5En-3%5E%7Bn-1%7D%7D$

如果是3阶递推又怎样呢？

比如 $a_%7Bn%2B3%7D%3D2a_%7Bn%2B1%7D-3a_%7Bn%2B1%7D%2B5a_n$ ①

方法是一样的，则考虑构建3阶矩阵：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B3%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3DA%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

则还需选取：

$a_%7Bn%2B2%7D%3D1a_%7Bn%2B2%7D%2B0a_%7Bn%2B1%7D%2B0a_n$ ②

$a_%7Bn%2B1%7D%3D0a_%7Bn%2B2%7D%2B1a_%7Bn%2B1%7D%2B0a_n$ ③

由①②③，写成矩阵形式，即：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B3%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%202%20%26%20-3%20%26%205%5C%5C%0A1%20%20%26%200%20%260%20%5C%5C%0A0%20%20%26%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

递推即得：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%202%20%26%20-3%20%26%205%5C%5C%0A1%20%20%26%200%20%260%20%5C%5C%0A0%20%20%26%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B3%7D%20%5C%5C%0Aa_%7B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

后面就也是对角化处理了

不过求特征值时，特征多项式的次数跟矩阵的阶数是对应的，因此上述矩阵特征多项式就是3次方程。而上面的系数是随便选取，因此解析解理论可求，只是可能不平凡。这也是出题时最多只出到二阶线性递推的主要原因。

推广到任意阶线性递推

$a_%7Bn%2Bk%7D%20%3DC_1a_%7Bn%2Bk-1%7D%2BC_2a_%7Bn%2Bk-2%7D%2B...%2BC_ka_n$

其中 $C_1%2CC_2%2C...%2CC_k$ 表系数

考虑构建n阶矩阵：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2Bk%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2Bk-1%7D%20%5C%5C%0A...%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0AA%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2Bk-1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2Bk-2%7D%20%5C%5C%0A...%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

则还需选取：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26a_%7Bn%2Bk-1%7D%3D0a_%7Bn%2Bk%7D%2B1a_%7Bn%2Bk-1%7D%2B...%2B0a_n%5C%5C%0A%26a_%7Bn%2Bk-2%7D%3D0a_%7Bn%2Bk%7D%2B0a_%7Bn%2Bk-1%7D%2B1a_%7Bn%2Bk-2%7D%2B...%2B0a_n%5C%5C%0A%26...%5C%5C%0A%26a_%7Bn%2B1%7D%3D0a_%7Bn%2Bk%7D%2Ba_%7Bn%2Bk-1%7D%2B...%2B1a_%7Bn%2B1%7D%2B0a_n%0A%5Cend%7Balign%7D$

写成矩阵形式，即：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2Bk%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2Bk-1%7D%20%5C%5C%0A...%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20C_1%20%26C_2%20%20%26%20...%20%26C_k%20%5C%5C%0A1%20%20%26%200%20%26%20..%20%26%200%5C%5C%0A%20...%20%26%20...%20%26%20...%20%26%200%5C%5C%0A%200%20%26%20...%20%26%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2Bk-1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2Bk-2%7D%20%5C%5C%0A...%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

观察系数矩阵可知，其有如下特点：

第一行的数字即递推式中对应的由 $a_%7Bn%2Bk-1%7D$ 到 $a_%7Bn%7D$ 的系数

从第二行开始，从左往右依次写1，其余写0。也即从第1列第2行起，沿"左上--右下"走向处数字为1，其余为0

举个例子当练习

$a_%7Bn%2B4%7D%3D3a_%7Bn%2B3%7D%2B2a_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D-2a_n$

对应矩阵形式递推，即：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B4%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B3%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%203%20%26%202%20%26%20-5%20%26%20-2%5C%5C%0A%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B1%7D%7D%20%20%20%260%20%20%26%200%20%260%20%5C%5C%0A%200%20%26%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B1%7D%7D%20%26%200%20%26%200%5C%5C%0A0%20%20%26%20%200%26%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B1%7D%7D%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B3%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

有了以上背景，我们便可以从更高观点来证明 $a_%7Bn%2B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%7D%5CRightarrow%20T%3D6$ 这个奇葩式子了

对应矩阵形式递推，即：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%2B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%201%20%26%20-1%5C%5C%0A%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

递推得：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%0Aa_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%201%20%26%20-1%5C%5C%0A%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D%0A%5Ccdot%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

下面求解 $%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%201%20%26%20-1%5C%5C%0A%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%5E%7Bn-1%7D$

求得矩阵特征根为一对共轭复数：

$%5Clambda%20_%7B1%2C2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20i$

ps:特征值为复数则对应伸缩+旋转(模长对应伸缩，辐角对应旋转)矩阵运算在复数域成立已有严格证明，这里就先不作拓展了

那么对角化后，则有：

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%201%20%26%20-1%5C%5C%0A%201%20%260%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3DS%5Ccdot%20J%5Ccdot%20S%5E%7B-1%7D$

其中 $J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20i%20%26%200%5C%5C%0A0%20%20%26%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20i%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ae%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7Di%20%7D%20%20%26%200%5C%5C%0A0%20%20%26e%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7Di%20%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

于是有 $J%5E6%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A(e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7Di%20%7D)%5E6%20%20%26%200%5C%5C%0A0%20%20%26(e%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7Di%20%7D)%5E6%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%201%20%26%200%5C%5C%0A0%20%20%261%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

说明对向量 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_%7B2%7D%20%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 作6次J的变换后回到原位，因此周期为6

到此悟性好的读者脑海中已经掀起了滔天巨浪！

这正是特殊的辐角具有旋转周期性造成的！！！

原来这令人头大的结论背后有如此绝妙的背景！

这便是数学！纯真美妙的数学！不被应试名利铜臭玷污的数学！

总结

这期专栏主要讲解了用矩阵方法求解整式线性递推数列，顺带发掘了一些奇葩结论背后美妙的命题背景。

其中矩阵次方的处理采用了矩阵对角化的方法。而这种方法对于二阶矩阵而言需要满足特征根为2不等实根或一对共轭复根时使用。换而言之，还存在特征根为重根的情况，这种情况矩阵不可对角化。由于个人尚未了解充分，因此先把尚未解决的这种特殊情况先遗留与此。后续掌握后再补充讨论。

整式线性递推写完也花了不少篇幅了，因此一阶分式线性递推就放后续再讲了~

另外，感觉缺少例题的讲解，有空翻翻好像还没丢的一轮书找找例题附上[滑稽]

标签：

几类特殊递推数列的矩阵算法(前篇)

前言

整式的线性递推

这正是特殊的辐角具有旋转周期性造成的！！！

总结