【高等数学第2讲】函数极限的严格定义及性质

第二章 函数的极限

一、知识点

1. 研究函数极限和研究数列极限的区别：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 00:03

   
2. 函数极限的定义：
3. x趋于一点：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 02:05

   
   （严格定义见3）
4. 注意区分“趋向于”和“等于”
5. x趋于一点时，f(x)极限与f(x)在该点有无定义无关，与在该点的函数值无关（也就是f(x)的极限与f(x)在x=a这一点的状态无关）
6. x趋于无穷：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 44:23

   
   （严格定义见6）
7. ε-δ定义（趋于一点）：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 09:21

   
8. 去心邻域：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 11:27

   
9. 左右极限定义：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 27:28

   
10. 极限存在定理：函数极限存在当且仅当它的左极限和右极限存在且相等。
    

    一、数列极限的严格定义 P1 - 30:15

    
11. ε-X定义（趋于无穷）：
    

    一、数列极限的严格定义 P1 - 47:22

    
12. 函数极限的性质：
    

    二、函数极限的性质 P2 - 00:30

    
13. 唯一性
14. 局部有界性（对比数列极限性质中的有界性）
    

    二、函数极限的性质 P2 - 10:19

    
15. 为什么不同？：
16. 对于数列来说，它在非负整数域讨论问题，满足n<=N的项必定只有有限个，有限个数中必定有最大值，必有界。我们只要控制住n>N之后的项有界，则这个数列整体就是有界的。
17. 对于函数来说，它在实数域讨论问题（通常），在任意一段区间内都有无限个项，故只能讨论局部有界性。
18. 局部有界性定义：
    

    二、函数极限的性质 P2 - 16:42

    
    （以x趋于某一点a为例）
19. x的其他趋向过程，也可以仿照此定义
20. 定义中引入δ，目的是表示a的一个去心邻域，说明有界是在这个去心邻域内的，也就是局部有界。
21. 当x->a时，这个定义是可以单侧使用的。（单侧有界）
    

    二、函数极限的性质 P2 - 17:57

    
22. 保号性：
    

    二、函数极限的性质 P2 - 32:18

    
    ，证明同数列极限的保号性证明
23. 推论：
    

    二、函数极限的性质 P2 - 34:24

    
24. 函数极限和有界性的关系：
    

    二、函数极限的性质 P2 - 15:49

    

二、证明

1. 证明常数趋于一点的极限等于它本身：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 20:27

   
2. f(x)变复杂，继续通过ε-δ定义证明极限：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 22:49

   
3. 证明极限存在定理：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 31:34

   
4. 使用ε-X定义证明函数极限：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 51:07

   
5. 函数极限性质证明：
6. 唯一性：
   

   二、函数极限的性质 P2 - 00:55

   
7. 使用唯一性的逆否命题证明函数极限不存在（也就是极限存在定理）
8. 局部有界性：
   

   二、函数极限的性质 P2 - 16:42

   
   ，证明参照数列收敛则有界的证明
9. 保号性：
   

   二、函数极限的性质 P2 - 32:18

   
10. 使用局部有界性（单侧）证明函数在开区间内有界：
    

    二、函数极限的性质 P2 - 22:12

    
    

    二、函数极限的性质 P2 - 28:08

    
11. 闭区间上，开区间内
12. 什么是初等函数？基本初等函数 有限次运算 由一个式子表示
13. 闭区间上的连续函数必有界
14. 如何利用闭区间上的有界证明开区间内的有界？（利用单侧有界）
    

    二、函数极限的性质 P2 - 25:43

    
15. 先利用左端点右极限存在，右端点左极限存在分别说明在左端点的右侧去心邻域内和右端点左侧的去心邻域内有界。
16. 中间剩下的部分构成一个闭区间，因为讨论的函数是连续函数，所以在此闭区间上函数有界。
17. 综上，函数在该开区间内有界。

三、计算

1. 求形如f(x)+g(x)函数的极限：
   

   一、数列极限的严格定义 P1 - 36:47

   
2. 右极限左极限分情况讨论（整体）
3. 只有当f(x)的极限存在，且g(x)的极限存在时，两函数和的极限才等于极限的和。
4. 注意对数的运算法则，别记混了，本题用不上它
5. 求含变限积分的极限，洛必达法则失效的情况：
   

   二、函数极限的性质 P2 - 06:46

   
6. 使用洛必达推出极限不存在（∞是特殊的存在），不能推出原极限不存在
7. 失效怎么办？
8. 将变限积分当作正常积分使用分部积分法，一分为二分别讨论
9. 海涅定理（不知道是不是）->本题可以令x=nπ，n趋于∞；最后得到答案2/π（不知道对不对）