【欧拉公式】你不知道的细节

复数的三角形式

下面是一个极坐标和直角坐标系重合的坐标系，让坐标原点重合，极径在实轴的正方法，单位刻度也一致，

而任意坐标点在复数域中是a+ib，而在极坐标坐标系中是二元组（r,角度）

其中，r是z的模长，角度是幅角，为了方便记录，记做下式

理解欧拉公式，就要理解两个复数相乘，其相乘的结果模值是两个幅值的模值，幅角是两个角的和，

首先，虚数单位i和复数z=a+ib相乘，从计算上讲是i分别和z的实部和虚部相乘

这等同于先将z的实部与虚部互换得到z-new，然后再将z-new沿虚轴做镜面翻转

这个过程等价于将z沿逆时针旋转90度

而虚数单位的幅角正好是90度，非巧合

接下来再以z等于2倍根号3+2i为例，与z=P(r,θ)相乘得到

将得到的结果分为前后两部分，进行图形上的运算，第一部分直接把z的幅值放大2倍根号3倍，而第二部分是将实部虚部变为原来的2倍再将实部虚部互换，再对虚轴进行翻转，其实就是iz伸长为原来的2倍，然后根据三角形运算法则得到最终的积向量

可以得到最后的积向量的乘积的幅值是两个向量的幅值，幅角是两角之和

所以的到来结论

上面部分就是推导极坐标乘积公式

接下来分为3部分

推导棣莫弗公式

欧拉法推导欧拉公式

还有一种指数假设法推导欧拉公式