补充篇：反双曲正切函数的泰勒展开式

        对于反双曲正切函数，我们有

        同时，其泰勒展开式为

        下面我们来证明其泰勒展开式

        注意到

        对相关内容不清楚的可以看以下链接。

        同时，牛顿二项式定理告诉我们，

        在上式中，令

        我们得到

        对比我们所想要的形式，不妨再用去取代的位置，我们得到

        即

        然后两边同时积分，就得到

        这是一种非常巧妙的证明方法，right？避开了反复的高阶导数计算，用简洁明了的牛顿二项式定理展开式证明了泰勒展开式。

        同时，该级数分母也具有鲜明的特征——奇数串。

        这也不禁让人想到了的泰勒展开式，分母是——阶乘串。