每日一题3

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1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（16，8）、（0，8），线段CD在x轴上，CD＝6，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．

（1）求线段CE的长；

（2）记△CDE与△ABO公共部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）连接DF．当t取何值时，以C、F、D为顶点的三角形为等腰三角形？

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A开始沿折线A﹣C﹣B运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒3(4)个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

（1）当t＝5秒时，点P走过的路径长为     ；当t＝     秒时，点P与点E重合；

（2）当点P在AC边上运动时，连接PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；

（3）当点P在折线A﹣C﹣B上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E从B点出发，沿着BC运动，速度为4cm/s，点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为t（s），当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为t．

（1）求t为何值时，△EFC和△ACD相似；

（2）设△EFC的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

（4）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应t的取值范围．