【高中数学】从学生问的一个复合型数列求和题目，简单谈谈数列相关问题的一般性思路

上图是一个高二学生问的复合型数列求前n项和问题，显然，此题老师给的解析方法是使用错位相减法。学生的提问提醒了我，或者说也是我想拓展引申出来的：针对此类问题，是否都一定要掌握相应的方法去解决？或者说，这种方法是否有局限性？

由此，我来说说我对数列相关问题的基本看法。

首先，数列不论求解任何内容，都离不开数列的本质定义，就是一组按顺序排列的数。这些数至于遵循哪些特定的规律，其实是不一定的——换一句话说，这些数列不一定能符合一些特定的规律，这个错误直觉来源于我们受到的训练，即一定要用一个优美的代数式来表示。

但是，没有特定规律本身就是一种规律，描述这种规律的方式也可能有很多种，就跟我们描述初等函数的多样化方法一样。

没有特定规律本身就是一种规律，思维的惯性常常会导致我们掉入陷阱中。既有的知识对进一步的学习或许是一种负担。

对于此类等差*等比型数列，是否一定要通过错位相减法来完成呢？

我的看法是否定的。想想我们初一学习代数式甚至小学时是怎么描述图形或者数字规律的？是不是通过有限个特殊的结果，找出规律，然后再归纳出具有一般性的结论？

那么为什么在高中学完数列的严格定义之后，不尝试采用这种方法呢？这种由个体到全体、由特殊到一般、由易到难的类比归纳思想，是一个非常重要的数学思想。

基于此，我们至少有两个方向可以去解决此类问题：

1、掌握数学归纳法，找出规律后用数学归纳法严格推导与证明；

2、通过不完全归纳，找出规律，再去按照题目要求去往结果去配凑；小题直接写。

并且，这些方法不仅仅适用于解决此类问题，甚至可以推广到所有数列的相关问题。

除此之外，如果想要使我们的方法、思维更具有一般通用性，我们可以将知识点重新回归到我们学到的三个最基本数列上：常数列、等差数列、等比数列。

在此基础上，利用构造（等比）思想，我们也可以通过构造数列的方法解决此类问题。并且，在具体解决时候也可以结合累加法、裂项法等等方法更快解决。

更进一步，我们又可以结合这些方法探究出更多种类或更具有通用性或更能想到的方法。

以下为该题目（稍作修改）的几种思想方法的应用，希望对同学们的思考方向与方法有所帮助。

例题：

已知数列｛an｝满足an=n.2n,求该数列的前n项和Sn.

解析见图片。

马几妞，一起学习数学。

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