【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章有理数

§1-8有理数的加法

【01】在算术里我们学过整数、分数和小数的加法、减法、乘法和除法。应用这四种运算，可以解决许多实际问题。现在我们已经学习了有理数，要应用它来解决更多的实际问题，就需要学会怎样进行有理数的运算。

【02】这一节里，我们先来研究有理数的加法让我们来看下面的一些问题。

1、符号相同的两个有理数相加

【03】问题1.在一条东西方向的公路上，一个人从甲地出发先向东走 4 公里，以后又向东走 3 公里结果这个人离开甲地几公里？它的位置在甲地的哪一边？

【解】我们可以从下面的图上直接看出，这个人现在在甲地东边7公里。

        从算术里我们已经知道，这个问题可以用加法来算。但是为了在算式里能够把方向也表示出来，我们取向东的方向作为正方向，那末只要把向东 4 公里记做＋4 公里，向东 3 公里记做＋3 公里，东边 7 公里记做＋7 公里，这个题目的解答就可以列成算式：(＋4)＋(＋3)＝＋7。答：在甲地东边7公里，

【04】问题2.如果在上题中，这个人先向西走 4 公里，再向西走 3 公里，结果这个人离开甲地几公里？在甲地的哪一边？

【解】从下图可以看到，他现在在甲地西边 7 公里。

        我们仍旧把向东的方向作为正方向，那末向西 4 公里记做－4 公里，向西 3 公里记做－3 公里，西边 7 公里记做－7 公里。因为这个题目的性质和问题1是相同的（只是走的方向不同），仍旧应该用加法来算。这样就要把这个人走了两次以后离开原地的公里数和方向用(－4)＋(－3) 来表示，并且得到算式 (－4)＋(－3)＝－7  。答：在甲地西边 7 公里。

【05】从上面的两个问题的解答中，我们看到：两个正数相加，它们的和还是一个正数，和的绝对值就是这两个加数的绝对值的和两个负数相加，它们的和仍旧是个负数，和的绝对值是两个加数的绝对值的和。

2、符号相反的两个有理数相加

【06】问题3.在问题1中，如果这个人先向东走 4 公里，后来又向西走 3 公里，那末结果他离开甲地几公里？在甲地哪一边？

【解】从下图中可以看到他应该在甲地东边1公里。

        我们仍旧把向东的方向作为正方向，那末向东 4 公里记做＋4 公里，向西 3 公里记做－3 公里，东边 1 公里记做＋1 公里。

        因为这个题目的性质还是和问题1相同的（只是两次走的方向不同），我们仍旧可以用加法来做这样就要把他最后离开原地的公里数和方向，用 (＋4)＋(－3) 来表示，并且得到算式 (＋4)＋(－3)＝＋1  。答：在东边 1 公里。

【07】问题4.如果这个人先向西走 4 公里，再向东走 8 公里，结果他离开甲地几公里？在甲地哪一边？

【解】从下图可以看到，他在甲地西边 1 公里。

        我们仍旧把向东的方向作为正方向，那末向西 4 公里只要记做－4 公里，向东 3 公里只要记做＋3 公里，西边 1 公里只要记做－1 公里。

        这个问题的性质还是和问题1相同，所以我们仍旧用加法。把这个人最后离甲地的公里数和方向用 (－4)＋(＋3) 来表示，并且得到算式 (－4)＋(＋3)＝－1  。答：在西边 1 公里。

【08】问题5.如果这个人先向东走 4 公里，再向西走 4 公里，结果他离甲地几公里？在哪一边？

【解】很明显，他仍在原地，就是离开原地 0 公里。

        象上面的问题3和问题4一样，我们可以用 (＋4)＋(－4) 来表示他最后离开原地的公里数和方向，并且得到算式 (＋4)＋(－4)＝0  。

【09】从上面的三个问题的解答中，可以看到，符号相反的两个数相加，它们的和的符号与加数里绝对值大的这个数的符号相同，和的绝对值应该等于加数的绝对值的差；如果这两个数是相反的数，那末和就是 0  。

3、关于零的加法

【10】在算术里，我们已经知道一个数和零相加，结果仍旧等于这个数。例如 3＋0＝3，0＋3＝3，0＋0＝0  。对于加数中有负数的时候，这个性质还是一样的。例如 (－4)＋0＝－4，0＋(－4)＝－4  。读者可以自己用上面的问题来解释这两个式子的实际意义。

4、有理数加法法则

【11】把上面这些情况归纳起来，我们就可以得到有理数的加法法则：

【12】(ⅰ)正负符号相同的两个数的和，它的符号与这两个数的符号相同，它的绝对值等于这两个数的绝对值的和。

【13】(ⅱ)正负符号相反的两个数的和，它的符号与绝对值较大的加数的符号相同，它的绝对值等于这两个数的绝对值的差。（特殊情况：两个相反的数的和等于零）

【14】(ⅲ)零同任何一个数的和，就等于这个数。（特殊情况：零加零等于零）

例1.计算：

【解】

【说明】这里都是两个符号相同的数的加法，只要把它们的绝对值相加，再写上相同的性质符号就是了。

【注意】正数的性质符号，可以省略，如 (＋15)＋(＋24)＝＋39，可以写成 15＋24＝39  。

例2.计算下列加法：

【解】

【说明】这里都是两个符号不同的数的加法，要把它们的绝对值相减，求出绝对值的差，再写上绝对值较大的那个加数的符号。

【注意】正数的性质符号，可以省略。例如 (＋3.5)＋(－7.2) 可以写成 3.5＋(－7.2)； 可以写成 ，或者写成   。

例3.计算：

【解】

【说明】这里加数里都有 0，和就等于另一个加数。

例4.计算：

【解】依从左到右顺次计算：

习题1-8

1、回答下列问题：在算术里，两个数的和会小于任意一个加数吗？在代数里呢？举一个例子。

2、做下列加法：

3、计算：

【(1)0，(2)19，(3)0，(4)0】